1178

постоянной несущей способности. Условия реализации критерия опти­ мальности запишем в виде:

/п = ^ф.эф. где 1кр.эф = лУгН13(Е2/Е [ —рг)2, обеспечивающее совместную ра­ боту ребра и обшивки, а также вводятся некоторые ограничения на тол­ щину обшивки, ширину ребер, высоту ребер с присоединенной обшивкой исходя из конструктивно-технологических соображений.

4. Известные результаты испытаний цилиндрических оболочек на ус­ тойчивость при внешнем давлении и осевом сжатии свидетельствуют о значительном расхождении опытных критических нагрузок с их расчет­ ными значениями, вычисленными по линейной теории оболочек. Так, если для сравнительно коротких оболочек, работающих на внешнее дав­ ление, опытные нагрузки меньше своих расчетных значений, то для срав­ нительно длинных оболочек можно наблюдать в ряде случаев превыше­ ние опытных нагрузок над расчетными. Для оболочек, сжатых в осевом направлении, опытные нагрузки всегда меньше своих расчетных значе­ ний, т. е. для рассматриваемых видов нагружения имеет место как ка­ чественное, так и количественное расхождение расчетных и опытных критических нагрузок. Причина такого расхождения заключается, по-ви­ димому, в несовпадении характера волнообразования в момент потерн устойчивости и начальных несовершенств.

Действительно, начальные несовершенства большинства конструкций имеют локальный характер, вследствие чего они не совпадают с волно­ образованием оболочек, имеющим регулярный характер. И чем больше размеры волн в плане, тем вероятность такого совпадения уменьшается. На начальной стадии нагружения, когда действующие напряжения меньше критических, вмятины локализуются в соответствии с распре­ делением начальных несовершенств, имеющих случайный характер. При повышении действующих напряжений вмятины увеличиваются, а при достижении критических напряжений происходит «перестройка» характера волнообразования — от случайного к регулярному. Такая «перестройка» приводит, в конечном счете, к повышению опытной кри­ тической нагрузки.

Объяснение расхождения опытных и расчетных нагрузок будет пра­ вомерным, если изготовить оболочки без начальных несовершенств и показать, что опытные критические нагрузки таких оболочек, нагру­ женных внешним давлением, не превышают расчетных. Вместе с тем, результаты испытаний оболочек будут представлять интерес и с мето­ дической точки зрения, поскольку при этом появляется возможность оценить эффективность предложенного метода расчета по предельному состоянию и его приложений к уточнению решений по линейной тео­

рии оболочек.

Учитывая, что в оболочках из КМ нельзя избежать начальных несо­ вершенств, для испытаний изготовили точением из трубы гладкие обо­

Р ч - Ш - в результате определения поправочной функции получена следующая уточнен­ ная формула для расчета критической нагрузки оболочек:

Рис. 1. Устойчивость цилиндрических оболочек из алюминиево-магниевого сплава при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле ( 12 ).

Рис. 2. Устойчивость цилиндрических оболочек из стеклопластика при внешнем давле­ нии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (13).

Рис. 3. Устойчивость цилиндрических оболочек из стеклопластика при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (14).

Как следует из рис. 1, из 88 испытанных оболочек только для двух оболочек опытные нагрузки превышают их расчетные значения (на 3 и 5%)- Это позволяет утверждать о правомерности объяснения расхож­ дения расчетных и опытных нагрузок. Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, определенные с использованием фор­ мулы (12), равны kq= 1, vg = 0,057, что свидетельствует об эффектив­ ности метода расчета по предельному состоянию и высокой точности формулы (12).

Далее рассмотрим результаты испытаний оболочек из стекло-, угле­ пластика и боралюминия.

Оболочки из стеклопластика были изготовлены методом продольно­ поперечной намотки, при этом наполнитель использовался в виде ни­ тей, ленты и тканей. Данные испытаний цилиндрических оболочек при

qr2 внешнем давлении приведены на рис. 2 в координатах А, и q = -d—--------

fE JL ^ h 2

В результате уточнения получена следующая расчетная формула для критической нагрузки:

УЗД2/г4 ' В результате уточнения получена следующая расчетная формула для критической нагрузки:

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (14), равны £г =1, vr = 0,18. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,42.

Оболочки из углепластика были изготовлены методом продольно-по­ перечной намотки. Данные испытаний цилиндрических оболочек при

Рис. 4. Устойчивость цилиндрических оболочек из углепластика при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (15).

Рис. 5. Устойчивость цилиндрических оболочек из боралюминия при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (16).

осевом сжатии приведены на рис. 4 в координатах r/h и Т. В результате уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (15), равны kT=\, vr = 0,28. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,86.

Оболочки из боралюминия были изготовлены методом прессования плазменно-напыленных заготовок. При этом в оболочках было реализо­ вано армирование как в кольцевом, так и в кольцевом и осевом направ­ лениях. Данные испытаний цилиндрических оболочек при внешнем дав­ лении приведены на рис. 5 в координатах X и q. В результате уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

У 1 23 (1 — JLl! pi2)3

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (16), равны kq=\, vg = 0,l. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен Д = 1,198.

5. Конструктивная анизотропия реализована в настоящее время в подкрепленных оболочках из алюминиево-магниевого сплава. Для испы­ таний были изготовлены цилиндрические оболочки с монолитно-соеди­ ненными с обшивкой и часто расположенными ребрами жесткости. Ре­ зультаты испытаний цилиндрических оболочек при внешнем давлении приведены на рис. 6 в координатах

функции получена следующая уточненная формула для критической нагрузки:

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (17), равны kq=\, = 0,14. Коэф­ фициент безопасности для надежности 0,95 равен fq= 1,3.

Рис. 6. Устойчивость цилиндрических подкрепленных оболочек из алюминиево-маг­ ниевого сплава при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (17).

Рис. 7. Устойчивость цилиндрических подкрепленных оболочек из алюминиево-магние­ вого сплава при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (18).

Результаты испытаний цилиндрических оболочек при осевом сжатии

4 ____ Тг2

приведены на рис. 7 в координатах rj^h\h^ и Т= ZJ /Ij!%2г . После уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (18), равны k T=\, vr = 0,137. Коэф­ фициент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,29.

На основании анализа опытных данных получены следующие уточ­ ненные формулы для критических нагрузок, соответствующих местной потере устойчивости [13]:

Средние значения и коэффициенты вариации параметра нагрузки, вы­

На основании методики проектирования, предполагающей использо­ вание условий реализации критерия оптимальности (11) и уточненных формул (17) — (20), для ЭВМ. разработана программа определения ра­ циональных параметров подкрепленных оболочек из алюминиево-маг­ ниевого сплава.

Для оценки эффективности подкрепления оболочек из полимерных КМ были изготовлены и испытаны две оболочки из углепластика. В ре­ зультате анализа опытных данных получена следующая формула для критической нагрузки:

Ei, Е4 — модули упругости обшивки; Е ip, Е<р — модули упругости ребер. В формуле (21) поправочный коэффициент = 0,153 принят как среднее значение из поправочных коэффициентов, определенных по результатам испытаний оболочек (/ег = 0,158 и 0,148).

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, М 2, с. 272—276

УДК 624.073:678.067.5.001

Э. И. Граголю к, Г М. Куликов

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО­ ИЗОТРОПНЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН

В [1] приведены базирующиеся на гипотезе Бергера уравнения движе­ ния трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с жест­ ким заполнителем в рамках гипотез [2, 3]. Здесь на основе построенной теории получены уравнения трансверсально-изотропных пластин на функцию перемещений % и функцию сдвига <р и показана связь подхода Бергера [4] с задачей изгиба бесконечно длинной пластины по цилиндри­ ческой поверхности, впервые поставленной Бубновым в 1902 г. [5].

1. Рассмотрим прямоугольную трансверсально-изотропную трехслой­ ную пластину несимметричной структуры с равными значениями коэф­ фициента Пуассона слоев. Пусть Eh, v — модуль упругости и коэффи­ циент Пуассона &-го слоя; G — модуль поперечного сдвига заполнителя;

а, b — линейные размеры прямоугольной пластины. Отнесем срединную поверхность заполнителя к декартовой системе координат Х\, х 2. Будем считать для простоты касательную нагрузку на внешних поверхностях несущих слоев равной нулю, тогда уравнения (2.9), полученные в [1], мо­ гут быть записаны в следующем виде:

Обозначения, используемые здесь и в дальнейшем, соответствуют моно­ графии [3] и имеются также в [1].

Первые два уравнения (1.1) означают, что первый инвариант тензора обобщенных деформаций является постоянной величиной и тогда с уче­ том соотношений (1.2) придем к уравнению Бергера [4]:

где а2 — константа интегрирования.

Следуя работе [6], проинтегрируем уравнение (1.3) по области, огра­ ниченной прямоугольным контуром пластины, и предположим, что торцы не могут перемещаться в плоскости пластины. Принимая во внимание

последнее замечание, получим уравнение для определения константы ин­ тегрирования а 2:

Преобразования оставшихся уравнений (1.1) проведены в духе ра­ боты [3]. Уравнения на функцию перемещений и функцию сдвига запи­ шутся так:

При этом прогиб w и вектор сдвига (cti.o^) выражаются через функцию перемещений и функцию сдвига следующим образом:

что они линейны и не связаны друг с другом. Заметим, что уравнение (1.6) имеет решение типа краевого эффекта, быстро затухающего при удалении от края. Это позволяет при исследовании некоторых частных задач приближенно полагать <р = 0 и таким образом понижать общий по­ рядок системы уравнений (1.5), (1.6) с восьми до шести.

Полученные уравнения допускают различные предельные переходы. Если в (1.5), (1.7) принять параметр сдвига |3 = оо, то получим уравне­ ние теории Бергера, построенной на гипотезах Кирхгофа—Лява для всего пакета слоев в целом. Положив лз=1> что эквивалентно однослой­ ной пластине, приходим к известному уравнению Бергера [4]. Случай 0= 0 соответствует мембранным несущим слоям и легкому заполнителю.

Вернемся к граничным условиям, представленным в [1]. Рассмотрим

-M i2l2pQip)6ay = 0.

Прежде всего отметим, что первое и второе граничные условия (1.8) удовлетворяются тождественно. Остальные граничные условия можно записать относительно функции перемещений и функции сдвига, и их ко­ личество соответствует восьмому порядку системы уравнений (1.5), (1.6).

Предположим, что имеется диафрагма бесконечной жесткости, пре­ пятствующая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края плас­ тины. Обращаясь к [3], граничные условия сформулируем следующим об­ разом:

Вводя прогиб по формуле (3.2) в (1.4) и интегрируя, получим выраже­ ние для константы интегрирования:

Подставляя функцию перемещений из (3.2) в уравнение (1.5) и учиты­ вая соотношения (3.3), (3.4), найдем связь безразмерного центрального прогиба с безразмерной нагрузкой:

На рис. 1 нанесены зависимости прогиба от нагрузки по параметру г|3 при 0 = 0,01; 6=0,5; b /a = 1 и дано сравнение с линейной теорией. Реальный диапазон изменения пара­ метров, характеризующих изгиб трехслойной пластины, установлен в [3]. Из рис. 1 видим,

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 1. Зависимость центрального прогиба Wo/h от безразмерной нагрузки q. Нел

пая теория: т|3= 1,25 (/); 1,50 (2); 1,75 (3); 2,25 (4); 2,75 (5). Линейная теория: 6 — любые значения г|ii3.

Рис. 2. Зависимость центрального прогиба Wo/h от безразмерной нагрузки q. Нелинейная теория: 6 = 0 (Л- 0,1 (2); 0,5 (3); 1 (4); 10 (5). Линейная теория: 6 = 0 (б); 0,1 (7); 0,5 (8); 1 (9); 10 (10).

что линейная теория приводит к значительным погрешностям при малых значениях параметра т]3. Вспоминая, что цилиндрическая жесткость D относительно M-поверх­ ности приведения содержит г]3, и пересчитывая нагрузку, приходим к важному выводу: из двух трехслойных пластин с одинаковым набором слоев симметрично собранный па­ кет выдерживает большую нагрузку. Графики, определяющие зависимость центрального

ние параметра сдвига с 10 до 100 приводит лишь к незначительному изменению соот­ ветствующих кривых.

В целях проверки достоверности теории было проведено сравнение с результатами работы [8], где были получены уравнения Бергера трех­ слойных пластин симметричного строения по толщине с легким изотроп­ ным заполнителем и безмоментными несущими слоями и сопоставлены собственные данные с результатами более точного анализа, основанного на нелинейных уравнениях Рейсснера. По развитой в данной работе методике были просчитаны прогибы пластин с очень тонкими несущими слоями и слабым на сдвиг заполнителем, характеристики которых пред­ ставлены в [8]. Сравнение показало, что максимальное различие в про­ гибах составляет не более 3%, причем для квадратных пластин кривые, определяющие зависимость прогиба от нагрузки, ложились между кри­ выми Камня и Рейсснера.

В заключение заметим, что предложенная теория может быть рас­ пространена на многослойные пластины несимметричной структуры, если для всего пакета слоев принять гипотезу о распределении деформаций

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Григолюк Э. И., Куликов Г М. Приближенный анализ анизотропных трехслом-

иых пластин конечного прогиба. — Механика композитных материалов, 1980, № 1,

с.42—48.

2.Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполните­

лем. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1958, № 1, с. 26—34.

3.Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973. 170 с.

4.Berger Н. М. A new approach to the analysis of large deflections of plates. —

J.Appl. Mech., 1955, vol. 22, N 4, p. 465—472.

5.Бубнов И. Г Напряжения в обшивке судов от давления воды. — Морской сб.,