Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1178

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
11.16 Mб
Скачать
нни приведены на рис. 1 в координатах Х =

постоянной несущей способности. Условия реализации критерия опти­ мальности запишем в виде:

 

<7нр —

Tvp—Т'крр,

( И )

hn+ F\jl\ г

п

принимается дополнительное

условие

где р — — ^-------- j— .

При этом

/п = ^ф.эф. где 1кр.эф = лУгН13(Е2/Е [ рг)2, обеспечивающее совместную ра­ боту ребра и обшивки, а также вводятся некоторые ограничения на тол­ щину обшивки, ширину ребер, высоту ребер с присоединенной обшивкой исходя из конструктивно-технологических соображений.

4. Известные результаты испытаний цилиндрических оболочек на ус­ тойчивость при внешнем давлении и осевом сжатии свидетельствуют о значительном расхождении опытных критических нагрузок с их расчет­ ными значениями, вычисленными по линейной теории оболочек. Так, если для сравнительно коротких оболочек, работающих на внешнее дав­ ление, опытные нагрузки меньше своих расчетных значений, то для срав­ нительно длинных оболочек можно наблюдать в ряде случаев превыше­ ние опытных нагрузок над расчетными. Для оболочек, сжатых в осевом направлении, опытные нагрузки всегда меньше своих расчетных значе­ ний, т. е. для рассматриваемых видов нагружения имеет место как ка­ чественное, так и количественное расхождение расчетных и опытных критических нагрузок. Причина такого расхождения заключается, по-ви­ димому, в несовпадении характера волнообразования в момент потерн устойчивости и начальных несовершенств.

Действительно, начальные несовершенства большинства конструкций имеют локальный характер, вследствие чего они не совпадают с волно­ образованием оболочек, имеющим регулярный характер. И чем больше размеры волн в плане, тем вероятность такого совпадения уменьшается. На начальной стадии нагружения, когда действующие напряжения меньше критических, вмятины локализуются в соответствии с распре­ делением начальных несовершенств, имеющих случайный характер. При повышении действующих напряжений вмятины увеличиваются, а при достижении критических напряжений происходит «перестройка» характера волнообразования — от случайного к регулярному. Такая «перестройка» приводит, в конечном счете, к повышению опытной кри­ тической нагрузки.

Объяснение расхождения опытных и расчетных нагрузок будет пра­ вомерным, если изготовить оболочки без начальных несовершенств и показать, что опытные критические нагрузки таких оболочек, нагру­ женных внешним давлением, не превышают расчетных. Вместе с тем, результаты испытаний оболочек будут представлять интерес и с мето­ дической точки зрения, поскольку при этом появляется возможность оценить эффективность предложенного метода расчета по предельному состоянию и его приложений к уточнению решений по линейной тео­

рии оболочек.

Учитывая, что в оболочках из КМ нельзя избежать начальных несо­ вершенств, для испытаний изготовили точением из трубы гладкие обо­

лочки из алюминиево-магниевого сплава.

внешнем давле-

Данные испытаний цилиндрических оболочек при

г л

qr2 и

Р ч - Ш - в результате определения поправочной функции получена следующая уточнен­ ная формула для расчета критической нагрузки оболочек:

EW*

( 12)

<7,ф = 0,92 (0,0677 In * +0,681)

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 1. Устойчивость цилиндрических оболочек из алюминиево-магниевого сплава при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле ( 12 ).

Рис. 2. Устойчивость цилиндрических оболочек из стеклопластика при внешнем давле­ нии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (13).

Рис. 3. Устойчивость цилиндрических оболочек из стеклопластика при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (14).

Как следует из рис. 1, из 88 испытанных оболочек только для двух оболочек опытные нагрузки превышают их расчетные значения (на 3 и 5%)- Это позволяет утверждать о правомерности объяснения расхож­ дения расчетных и опытных нагрузок. Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, определенные с использованием фор­ мулы (12), равны kq= 1, vg = 0,057, что свидетельствует об эффектив­ ности метода расчета по предельному состоянию и высокой точности формулы (12).

Далее рассмотрим результаты испытаний оболочек из стекло-, угле­ пластика и боралюминия.

Оболочки из стеклопластика были изготовлены методом продольно­ поперечной намотки, при этом наполнитель использовался в виде ни­ тей, ленты и тканей. Данные испытаний цилиндрических оболочек при

qr2 внешнем давлении приведены на рис. 2 в координатах А, и q = -d—--------

fE JL ^ h 2

В результате уточнения получена следующая расчетная формула для критической нагрузки:

1 75я

1/ЕхЕ2*Ь>

 

 

(13)

<7кР= - ------- :------------ (0,081 In Я + 0,74)

 

 

У123 (1 — pi,(д,2)3

/г3/*

 

 

 

 

 

 

 

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки,

вы­

численные с использованием формулы

(13), равны kq=\, vq = 0,12.

Ко­

эффициент безопасности для надежности 0,95 равен fq= 1,247.

 

 

 

Данные испытаний цилиндрических

оболочек при действии

осевой

 

г

 

Тг2

сжимающей силы приведены на рис. 3 в координатах-г- и f = —=

 

УЗД2/г4 ' В результате уточнения получена следующая расчетная формула для критической нагрузки:

Т кр —

0,47

(14)

 

У 3 ( 1 - | х ц х 2 )

 

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (14), равны £г =1, vr = 0,18. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,42.

Оболочки из углепластика были изготовлены методом продольно-по­ перечной намотки. Данные испытаний цилиндрических оболочек при

Рис. 4. Устойчивость цилиндрических оболочек из углепластика при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (15).

Рис. 5. Устойчивость цилиндрических оболочек из боралюминия при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (16).

осевом сжатии приведены на рис. 4 в координатах r/h и Т. В результате уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

Гир= - M l

=- 0,217y£|£2ft2.

(15)

У 3 (1 -т ц 2)

 

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (15), равны kT=\, vr = 0,28. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,86.

Оболочки из боралюминия были изготовлены методом прессования плазменно-напыленных заготовок. При этом в оболочках было реализо­ вано армирование как в кольцевом, так и в кольцевом и осевом направ­ лениях. Данные испытаний цилиндрических оболочек при внешнем дав­ лении приведены на рис. 5 в координатах X и q. В результате уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

<7кр — ,,.

1,75л

(16)

(0,146 In Х+0,375)

 

 

/г3/*

У 1 23 (1 — JLl! pi2)3

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (16), равны kq=\, vg = 0,l. Коэффи­ циент безопасности для надежности 0,95 равен Д = 1,198.

5. Конструктивная анизотропия реализована в настоящее время в подкрепленных оболочках из алюминиево-магниевого сплава. Для испы­ таний были изготовлены цилиндрические оболочки с монолитно-соеди­ ненными с обшивкой и часто расположенными ребрами жесткости. Ре­ зультаты испытаний цилиндрических оболочек при внешнем давлении приведены на рис. 6 в координатах

.

(

I

\2

г

л

qr2

;

я= ( —

)

--------- ;

q = --------

 

\

ЛТ

/

10---------

 

5 ---------

 

 

 

 

 

уЛ,А2°

 

E-jhM 1.

 

 

 

3 ______

 

 

 

где hi = hn + — \

/г2=

"I/ 12 — . После

определения поправочной

1\

 

'

 

 

 

 

функции получена следующая уточненная формула для критической нагрузки:

£V/ii/i29

/17Ч

9кр=0,92 (0,171 In Я+0,567)— -ц, — ■

(17)

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (17), равны kq=\, = 0,14. Коэф­ фициент безопасности для надежности 0,95 равен fq= 1,3.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 6. Устойчивость цилиндрических подкрепленных оболочек из алюминиево-маг­ ниевого сплава при внешнем давлении: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (17).

Рис. 7. Устойчивость цилиндрических подкрепленных оболочек из алюминиево-магние­ вого сплава при осевом сжатии: 1 — решение по линейной теории; 2 — решение по формуле (18).

Результаты испытаний цилиндрических оболочек при осевом сжатии

4 ____ Тг2

приведены на рис. 7 в координатах rj^h\h^ и Т= ZJ /Ij!%2г . После уточнения получена следующая формула для критической нагрузки:

Гкр = 2л0,316£y/zi/i23.

(18)

Среднее значение и коэффициент вариации параметра нагрузки, вычис­ ленные с использованием формулы (18), равны k T=\, vr = 0,137. Коэф­ фициент безопасности для надежности 0,95 равен fT = 1,29.

На основании анализа опытных данных получены следующие уточ­ ненные формулы для критических нагрузок, соответствующих местной потере устойчивости [13]:

<?'кР = 1.68 ~ у -тг—;

(19)

Г„р=2л0,02£Л„2

(20)

'2

 

 

 

Средние значения и коэффициенты вариации параметра нагрузки, вы­

численные с использованием

формул (19) и

(20), равны k 'q=\, v'q =

= 0,098; fe'r=l, v'r = 0,177.

Соответствующие

коэффициенты безопас­

ности для надежности 0,95 равны f'q= 1,2 и f'т= 1,4.

На основании методики проектирования, предполагающей использо­ вание условий реализации критерия оптимальности (11) и уточненных формул (17) — (20), для ЭВМ. разработана программа определения ра­ циональных параметров подкрепленных оболочек из алюминиево-маг­ ниевого сплава.

Для оценки эффективности подкрепления оболочек из полимерных КМ были изготовлены и испытаны две оболочки из углепластика. В ре­ зультате анализа опытных данных получена следующая формула для критической нагрузки:

 

Ткр — -

—0 , 1 Е*\Е*2~Уhihp*,

( 2 1)

 

 

где

 

уз (1 — щцг)

 

 

 

 

 

__ hn

I £ р

_

Е* = Е ____ —_____b Е р__ -~—

h n + F\/l\

 

h n + F J l i

+

h n -\- F 2/I2

Ei, Е4 — модули упругости обшивки; Е ip, Е<р — модули упругости ребер. В формуле (21) поправочный коэффициент = 0,153 принят как среднее значение из поправочных коэффициентов, определенных по результатам испытаний оболочек (/ег = 0,158 и 0,148).

Заключение. Разработан метод расчета по предельному состоянию, предполагающий проведение испытаний образцов, мелкомасштабных моделей, натурных конструкций н статистический анализ опытных дан­ ных. Показаны преимущества метода по сравнению с методом расчета по разрушающим нагрузкам, относящиеся к оценке точности расчетной схемы конструкций и определению коэффициентов их безопасности. В рамках метода сформулирован критерий оптимальности, связанный с обеспечением максимума предельной (разрушающей или критической) нагрузки при постоянной массе конструкции.

Даны приложения метода к оценке прочности и устойчивости конст­ рукций из полимерных и металлических КМ с использованием критерия Гольденблата—Копнова и решений по линейной теории оболочек. Опре­ делены условия реализации критерия оптимальности конструкций. Даны рекомендации по рациональному армированию конструкций из волок­ нистых КМ, предложена методика рационального проектирования под­ крепленных конструкций.

На примере испытаний цилиндрических оболочек из алюминиево-маг­ ниевого сплава на устойчивость при внешнем давлении подтверждены правомерность причины расхождения расчетных и опытных критических нагрузок, заключающейся в несовпадении характера волнообразования в момент потери устойчивости и начальных несовершенств, и эффектив­ ность метода расчета по предельному состоянию. В рамках метода и на основании анализа результатов испытаний предложены уточненные рас­ четные формулы для критических нагрузок цилиндрических оболочек из стекло- и углепластика и боралюминия при наиболее типичных видах на­ гружения, проведено сопоставление эффективности подкрепления обо­ лочек из алюминиево-магниевого сплава и углепластика. Определены значения коэффициентов безопасности конструкций, гарантирующие их надежность.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.М акеев В. П., Ершов Н. П. Конструкции из композиционных материалов в со­

временной технике. ■— Журн. Всесоюзн. хим. общ-ва нм. Менделеева, 1978, № 3,

с.245—248.

2.М акеев В. П., Ершов Н. П. Принципы конструирования изделий из композици­

онных материалов. — IV Всесоюзн. конф. по композиционным материалам. Тез. докл.

М., 1978, с. 242—243.

3. Ершов Н. П. К вопросу оптимального проектирования оболочечных конструк­ ций на основе новых композиционных материалов. — В кн.: Механическое подобие конструкций из армированного материала. Киев, 1970, с. 188— 193.

4. Ершов Н. П. Некоторые прикладные задачи статистической динамики оболо­ чек из волокнистых композитов. — Механика полимеров, 1972, № 4, с. 743^—745.

5. Ершов Н. П. Некоторые вопросы оценки прочности конструкций из компози­ ционных материалов. — Механика полимеров, 1977, № 4, с. 731—732.

6. В альд А. Последовательный анализ. М.,

I960. 270 с.

7. Ершов Н. П. Предельное состояние н

надежность конструкций из композици­

онных материалов. ■— Журн. Всесоюзн. хим. общ-ва нм. Менделеева, 1978, № 3, С g|g_g22

8. Ершов Н. П. Об одном критерии рационального проектирования анизотропных конструкций. — Механика композитных материалов, 1979, № 4, с. 647 651.

9. Ершов Н. П. Проектирование тонкостенных конструкций из полимерных и металлических композиционных материалов. — III Всесоюзн. спмп. по механике компо­

зиционных материалов. Тез. докл. Ереван, 1979, с. 22—23.

10. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конст­

рукционных материалов. М., 1968. 191 с.

11. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных

материалов. — В кн.: Расчеты на прочность, 1966, вып. 12, с. 3 31 (М.).

12. Ершов Н. П. Статистическое исследование предельных нагрузок анизотропных конструкций и 'оценка их надежности. — Всесоюзн. конф. по проблемам оптимизации

инадежности в строительной механике. Тез. докл. М., 1979, с. 75 76.

13.Ершов Н. П. Исследование местной устойчивости конструктпвно^анпзотропных

оболочек. I— В кн.: Прочность и надежность сложных систем. Киев, 1У , с.

Поступило в редакцию 01.10.79

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, М 2, с. 272—276

УДК 624.073:678.067.5.001

Э. И. Граголю к, Г М. Куликов

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО­ ИЗОТРОПНЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН

В [1] приведены базирующиеся на гипотезе Бергера уравнения движе­ ния трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с жест­ ким заполнителем в рамках гипотез [2, 3]. Здесь на основе построенной теории получены уравнения трансверсально-изотропных пластин на функцию перемещений % и функцию сдвига <р и показана связь подхода Бергера [4] с задачей изгиба бесконечно длинной пластины по цилиндри­ ческой поверхности, впервые поставленной Бубновым в 1902 г. [5].

1. Рассмотрим прямоугольную трансверсально-изотропную трехслой­ ную пластину несимметричной структуры с равными значениями коэф­ фициента Пуассона слоев. Пусть Eh, v — модуль упругости и коэффи­ циент Пуассона &-го слоя; G — модуль поперечного сдвига заполнителя;

а, b — линейные размеры прямоугольной пластины. Отнесем срединную поверхность заполнителя к декартовой системе координат Х\, х 2. Будем считать для простоты касательную нагрузку на внешних поверхностях несущих слоев равной нулю, тогда уравнения (2.9), полученные в [1], мо­ гут быть записаны в следующем виде:

^11,1 = 0 ; 7,22,2 =

0 ;

/ / U , 1+ ^ 2 i , 2 =

Qi\

 

i 1,1 i +

2 А 1 1 2 , 1 2 +

-А422,22 +

 

 

 

A-Т\\Wл\-\-Т22^,22= я2~ Я\-

 

(1-1)

Формулы для усилий и моментов (2.4), (2.6) работы

[1] тоже значи­

тельно упрощаются:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т п =

Т 22 = К ( е ц ° +

е220) >

Q i = /^/з^1 G(Xi",

 

 

Ш

{лз[ (1 —v) Xtj + v6i j

(xi 1+ X22) ] + Ц2 [ ( 1 v) ctij +

M

i j = - j y

 

Kh2

 

 

+ v6jj (on1+ <222) ]};

 

 

н

{ ^ 2

[ ( 1

- v) X i j +

v d i j

(xi 1 +

X22 ) ] + ц I [ (1 -

v) ai j +

H = —J 2

 

 

 

 

x

6

X u

 

% 2 2

 

 

 

 

 

 

+ v 6 i j ( a i 1 + 0C2 2 ) ] } ;

 

 

K —Eh/( 1—v2);

л1= /з2(т2у3 + 3yi/+2 + Зу2/J 2) -

3cJ22; 'П2 = /з2(тзуз +

+ 3у1/+ + 3у2/-) +

3 /3 (7 1 /]/+ + у2/г/-) — З с 12с 13;

т]з = 4 ( у ^ ^ + уг/г2) +

 

+ /з2(3 у1+ 3 уг + уз) +6/3(71/1 + 72/2) —3ci32.

(1.2)

Обозначения, используемые здесь и в дальнейшем, соответствуют моно­ графии [3] и имеются также в [1].

Первые два уравнения (1.1) означают, что первый инвариант тензора обобщенных деформаций является постоянной величиной и тогда с уче­ том соотношений (1.2) придем к уравнению Бергера [4]:

1

1

arh2

(1-3)

u\AQ+ u^ A - ^ {w A)2+ — (wt2)2= —~ Цз,

где а2 — константа интегрирования.

Следуя работе [6], проинтегрируем уравнение (1.3) по области, огра­ ниченной прямоугольным контуром пластины, и предположим, что торцы не могут перемещаться в плоскости пластины. Принимая во внимание

последнее замечание, получим уравнение для определения константы ин­ тегрирования а 2:

a 2h2ab

Г

Г

(1.4)

— g—

Лз= J

J [{w ti)2+ {w t2)2]d x {dx2.

 

о

о

 

Преобразования оставшихся уравнений (1.1) проведены в духе ра­ боты [3]. Уравнения на функцию перемещений и функцию сдвига запи­ шутся так:

( l - ^ V )v * V * x- « 2( l - y V * ) V 2x = - ^ - ;

(1.5)

~ F " ”| _V2<p=<p'

О-6)

При этом прогиб w и вектор сдвига (cti.o^) выражаются через функцию перемещений и функцию сдвига следующим образом:

w =

Р

. - М И

( - ^ - у2х.1-ф ,2);

'

'

 

Ц2

 

 

 

 

0&2= — ■Т1з(1 —0)

I

I I

 

 

 

 

 

Л2

(

р V 2x.2+ ф>1) ;

 

 

Р=-

12(1 — у^)/3т1б?

 

 

л

Ш

(1.7)

 

0 =

ЛiЛз

 

 

 

 

 

 

 

Достоинством дифференциальных уравнений (1.5),

(1.6)

является то,

что они линейны и не связаны друг с другом. Заметим, что уравнение (1.6) имеет решение типа краевого эффекта, быстро затухающего при удалении от края. Это позволяет при исследовании некоторых частных задач приближенно полагать <р = 0 и таким образом понижать общий по­ рядок системы уравнений (1.5), (1.6) с восьми до шести.

Полученные уравнения допускают различные предельные переходы. Если в (1.5), (1.7) принять параметр сдвига |3 = оо, то получим уравне­ ние теории Бергера, построенной на гипотезах Кирхгофа—Лява для всего пакета слоев в целом. Положив лз=1> что эквивалентно однослой­ ной пластине, приходим к известному уравнению Бергера [4]. Случай 0= 0 соответствует мембранным несущим слоям и легкому заполнителю.

Вернемся к граничным условиям, представленным в [1]. Рассмотрим

для определенности края Xi = 0 и Х\ = а.

Из

(2.10)

работы [1] и с учетом

формул (1.2) получим:

 

rsj

/■w

 

 

(a2Z)-W„P)6Mi0 = 0; yVi2p6«2°= 0;

(М п -М п р)боу , = 0;

( H \ \ / /цР)ба1 = 0 ; (//)2 — /7i2p) 6 а г =

0;

(M n .i + 2Afi2,2 + oc2Z)tiyii —

-M i2l2pQip)6ay = 0.

Прежде всего отметим, что первое и второе граничные условия (1.8) удовлетворяются тождественно. Остальные граничные условия можно записать относительно функции перемещений и функции сдвига, и их ко­ личество соответствует восьмому порядку системы уравнений (1.5), (1.6).

В заключение обсудим принятое при выводе соотношения (1.4) допу­ щение о том, что граничный контур пластины ограничен для тангенци­ альных перемещений. Как установлено ниже, это предположение не су­ жает области применения предложенной теории, поскольку уравнение (1.5) существенно зависит от способа закрепления краев [7]. Действи­ тельно, если торец, например, *1 = 0, свободно перемещается в продоль­

ном направлении, тогда из первого граничного условия

(1.8)

следует

а2 = 0. Последнее равенство означает, что уравнения (1.5),

(1.6)

описы­

вают изгиб трехслойных трансверсально изотропных пластин малого прогиба.

2. Рассмотрим изгиб бесконечно длинной трехслойной пластины по цилиндрической поверхности. Эта задача для однородной пластины была сформулирована Бубновым еще в 1902 г. Будем полагать, что пластина нагружена равномерной нагрузкой q2= —q, причем края шарнирно оперты и неподвижны.

Пусть а обозначает ширину полосы, а длина b считается равной бесконечности. Поскольку функция перемещений не зависит от коорди­ наты х2, уравнения (1.4), (1.5) упрощаются и принимают следующую форму:

 

a 2h2a

 

/ г

( , - A 2J L . )

 

] d x и

 

 

 

 

dx 1

 

(

 

 

J0 L

\

p

d x f

1

 

 

d2

) d'X

a 2 (

1

*

d2

\ d 2x

_ q

Р

dx I2

' dxi4

\

 

p

dx 12

/ dxx2

D '

(2.1)

(2.2)

Если в (2.1), (2.2) положить р = оо,т)3=1 и учесть соотношение (1.7), по­ лучим оригинальные уравнения Бубнова [5]. Таким образом, справед­ ливо утверждение: методика Бергера представляет собой двухмерное расширение элементарной теории полос, предложенной Бубновым.

Поступая аналогично [3], граничные условия можно записать в виде:

 

 

Х = 4 Л = 7гЛ = °

пРи *1 = 0, х\ = а.

(2.3)

 

 

dx I2

dx i4

 

 

 

Решение,

удовлетворяющее

краевой

задаче (2.2),

(2.3), берем в

форме:

 

 

 

 

 

 

 

Х = a 2D fLl

Х22ch Х\ (а/2 — X i )

 

Ai2ch A2(a/ 2-*i)

1

VXx2(k22-

— X\2) ch Xxa/2

X22 (X22 —Xi2) ch X2aj2

2

 

 

 

_ J _____L

I .

 

 

 

 

 

X,2I

X22,2

J

(2.4)

 

 

1 + a 2/i2/p=F [ (1 +■fa 2/ih2/p)2! —40a2/i2/p] 1/2

 

Г

\'f*

Xi,2 — l

 

 

20/zi2/Rp

/

Очевидно, что выражения, стоящие под радикалами, всегда положи­ тельны, так как параметр 0^ 0,25 [3]. Принимая в (2.4) р = оо, опять при­ ходим к решению Бубнова. Что касается константы интегрирования а2, то для ее определения следует обратиться к соотношению (2.1). Подста­ вив в (2.1) формулу для функции перемещений, после интегрирования можно получить трансцендентное уравнение на а 2. Более подробное об­ суждение описанного метода решения нелинейных задач дано в следую­ щем параграфе.

3. Определим прогибы шарнирно-опертой прямоугольной пластины

и

. Т1Х\ . ТСХо

под действием поперечной нагрузки:

q2= — q sin-^-sin-— ,

Предположим, что имеется диафрагма бесконечной жесткости, пре­ пятствующая относительному сдвигу несущих слоев вдоль края плас­ тины. Обращаясь к [3], граничные условия сформулируем следующим об­ разом:

 

 

 

 

дф

 

xi = Q,

х х= а\

 

 

^

дх {2

 

дх^

UX\ = °

при

 

(3-1)

=

 

= ^4Х

дф

при

х2 = 0,

х2 = Ь.

 

 

 

 

^

дх22

 

дх24

= °

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения уравнений (1.5), (1.6) ищем в виде:

 

 

 

 

.

лхх

.

лх2

Ф = 0;

 

 

лх, .

лх2

(3.2)

X = Xosin---- s in

т~

w = WQsin----- sin——,

 

а

 

о

 

 

 

a

b

 

что удовлетворяет граничным условиям

(3.1). При этом из соотношения

(1.7) имеем:\

 

 

ш° = [ 1+б( 1+4 ) Ь

° ; 6=i ? - -

<з -з>

Вводя прогиб по формуле (3.2) в (1.4) и интегрируя, получим выраже­ ние для константы интегрирования:

Подставляя функцию перемещений из (3.2) в уравнение (1.5) и учиты­ вая соотношения (3.3), (3.4), найдем связь безразмерного центрального прогиба с безразмерной нагрузкой:

На рис. 1 нанесены зависимости прогиба от нагрузки по параметру г|3 при 0 = 0,01; 6=0,5; b /a = 1 и дано сравнение с линейной теорией. Реальный диапазон изменения пара­ метров, характеризующих изгиб трехслойной пластины, установлен в [3]. Из рис. 1 видим,

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 1. Зависимость центрального прогиба Wo/h от безразмерной нагрузки q. Нел

пая теория: т|3= 1,25 (/); 1,50 (2); 1,75 (3); 2,25 (4); 2,75 (5). Линейная теория: 6 любые значения г|ii3.

Рис. 2. Зависимость центрального прогиба Wo/h от безразмерной нагрузки q. Нелинейная теория: 6 = 0 (Л- 0,1 (2); 0,5 (3); 1 (4); 10 (5). Линейная теория: 6 = 0 (б); 0,1 (7); 0,5 (8); 1 (9); 10 (10).

что линейная теория приводит к значительным погрешностям при малых значениях параметра т]3. Вспоминая, что цилиндрическая жесткость D относительно M-поверх­ ности приведения содержит г]3, и пересчитывая нагрузку, приходим к важному выводу: из двух трехслойных пластин с одинаковым набором слоев симметрично собранный па­ кет выдерживает большую нагрузку. Графики, определяющие зависимость центрального

прогиба

от нагрузки при различных значениях

параметра сдвига

б, вычисленные при

0 = 0,001;

т^э = 2,75; b / a = 1, изображены на рис.

2. Характерно, что

дальнейшее увеличе­

ние параметра сдвига с 10 до 100 приводит лишь к незначительному изменению соот­ ветствующих кривых.

В целях проверки достоверности теории было проведено сравнение с результатами работы [8], где были получены уравнения Бергера трех­ слойных пластин симметричного строения по толщине с легким изотроп­ ным заполнителем и безмоментными несущими слоями и сопоставлены собственные данные с результатами более точного анализа, основанного на нелинейных уравнениях Рейсснера. По развитой в данной работе методике были просчитаны прогибы пластин с очень тонкими несущими слоями и слабым на сдвиг заполнителем, характеристики которых пред­ ставлены в [8]. Сравнение показало, что максимальное различие в про­ гибах составляет не более 3%, причем для квадратных пластин кривые, определяющие зависимость прогиба от нагрузки, ложились между кри­ выми Камня и Рейсснера.

В заключение заметим, что предложенная теория может быть рас­ пространена на многослойные пластины несимметричной структуры, если для всего пакета слоев принять гипотезу о распределении деформаций

 

 

J C

поперечного сдвига в

виде: угз(,°=

где Gu — модуль попереч­

ного сдвига &-го слоя.

 

 

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Григолюк Э. И., Куликов Г М. Приближенный анализ анизотропных трехслом-

иых пластин конечного прогиба. — Механика композитных материалов, 1980, № 1,

с.42—48.

2.Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполните­

лем. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1958, № 1, с. 26—34.

3.Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973. 170 с.

4.Berger Н. М. A new approach to the analysis of large deflections of plates. —

J.Appl. Mech., 1955, vol. 22, N 4, p. 465—472.

5.Бубнов И. Г Напряжения в обшивке судов от давления воды. — Морской сб.,

1902, т. 311, № 8, с.

117— 143; т.

312, № 9, с. 111— 141;

№ 10,

с. 119— 139; т. 313, №

12,

с. -107— 141. Отдел,

оттиск. СПб,

1904. 93

с. (Перепечатка: Бубнов

И. Г

Труды по тео­

рии пластин. М., 1953, с. 11— 100).

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Wah Т. Large amplitude flexural

vibration

of

rectangular

plates.

Intern.

J.

Mech. Sci., 1963, vol. 5, N 6, p. 425—438.

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Vendhan С. P. A study of Berger equations applied to nonlinear vibrations of

elastic plates. — Intern. J. Mech. Sci., 1975, vol. 17,

N 7,

p. 461—468.

 

 

 

 

8. Kamiya N. Governing equations

for large

deflections

of

sandwich

plates.

AIAA J., 1976, vol. 14, N 2, p. 250—253.

 

 

 

 

 

 

 

 

Московский автомеханический институт

 

 

Поступило в редакцию 27.06.79

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]