1178
.pdf30
10 |
|
-1C |
бекгс/пн* |
|
|
Рис. 2. |
Рис. 3. |
Рис. 2. Вид предельной поверхности, для композитных труб с намоткой волокон под углами ±45° О — экспериментальные данные работы [5].
Рис. 3. Данные работы [6] по прочности при двухосном нагружении труб из стеклоплас тика СВАМ (1 1), намотанного под углами ±45°
Естественное уточнение положения прямой 3, ограничивающей прочность волокон, связано с учетом неравного сопротивления разрушению при окружном и осевом растя жении вдоль волокон. Таким образом, прямая 3 должна соединять точки о*2 (0) н 0 *е (90), соответствующие разрушению при осевом нагружении композитной трубки с укладкой а = 0° и разрушению от окружных напряжений трубки с укладкой а = 90° С практической точностью прямую 3 можно проводить перпендикулярно прямым 1 и 2
вточке, соответствующей предельным напряжениям при оптимальном угле.
2.На рис. 3 приведены экспериментальные данные из работы [6], по лученные при ступенчатом (непропорциональном) нагружении труб из
стеклопластика СВАМ (1 1) с укладкой а = ± 4 5 ° комбинацией осевой растягивающей силы и внутреннего давления. Как видно из рис. 3, ре зультаты хорошо описываются по предложенной схеме, если принять о*е(45)=13 кгс/мм2, о%(45) = 14 кгс/мм2, сг*е(90)=22 кгс/мм2, a*z(0) = = 26 кгс/мм2. Вполне удовлетворительное описание можно получить с по мощью двух экспериментальных параметров, положив a*e(45) = a*z(45), a*e(90) = a*z(0). Тогда линии 1—3 для a = 45° имеют также наклон 45° и прямая 3 ортогональна прямым 1 и 2.
Вообще говоря, для приближенного описания прочности композитных труб в зависимости от угла укладки волокон и от вида напряженного со стояния (от (3) в области az> 0 , ae> 0 необходимы всего два независи мых эксперимента. Нужно определить прочность a*z(45) при растяжении с намоткой под углами ±45° и прочность на растяжение вдоль волокон
a*z(0). Тогда |
при растяжении согласно [2, 3] |
a*z(a) =o*z(45) ctg a (см. |
(1), а при а, |
близких к 0° (а < 1 5 °), можно |
считать прочность равной |
a*z(0). Прочность при чистом внутреннем давлении можно в первом при ближении считать равной прочности при растяжении a*z (а) ^ст*е(90 — а). С помощью значения a*z(a), рассчитанного через a*z(45) по (5), можно построить прямые линии 1, 2, описывающие прочность при различных от ношениях |3 = ae/az, а используя a*z(0) (если принять a*z(0) ?^a*e(90), построить прямую 3, оценивающую прочность по условию разрыва волокон. Таким образом, всего из двух простых экспериментов можно в принципе оценить весь набор предельных поверхностей для труб с раз личными углами намотки при комбинации осевого растяжения и внут реннего давления. В области осевого сжатия добавляется один экспери ментальный параметр a**z(a), и предельное состояние при комбинации
Рис. 4. Предельные поверхности в плоскости Oe—o z для стеклопластиковых труб с моткой волокон под углами ±55° (а), ±35° (б) и ±72,5° (в). О — эксперименталь
данные работ [7, 8].
3. В работах [7, 8] приведены обширные экспериментальные дань по прочности намоточных стеклопластиковых труб с полиэфирной мат цей под действием комбинации осевого усилия (растяжения или сжат] и внутреннего давления. Результаты, показанные на рис. 4, взяты работ [7, 8]. Теоретические прямые J, 2, 4 построены по уравнениям или (5), а прямая 3 — по уравнению (7). Отсутствие дополнительь данных по прочности под другими углами, например су*2(45) и а*2(0), позволяет определить независимо параметры а*2(а) и а*е(а), поэте обработка данных состояла в проведении предельных прямых 1, 2 i углом а* (6), через экспериментальные точки а*2(а), а*е(а) (а = 35; 72,5°). В первом приближении экспериментальные результаты удовл ворительно описываются предложенными простыми соотношениями. 1 ьцественно, что наибольшие значения разрушающих напряжений реа зуются при оптимальном отношении между напряжениями p = tg2< Ха*о(а)/а*2(а) (линия под углом arctg[3 проведена на рис. 4 штр пунктиром).
Авторы [7, 8] обработали свои результаты с помощью крите] Пуппо—Эвенсена и получили хорошее согласие, однако, по их собств ному мнению, этот критерий приводит к громоздким выкладкам, ньп не отражает характер разрушения, и эмпирические параметры пр посты, определенные для одной укладки, не могут быть ыспользовг для других укладок.
Предлагаемый в данной работе подход лишен указанных недост ков, хотя и не обеспечивает такой точности описания экспериментов, торую можно достичь, подбирая должным образом параметры крите] Пуппо—Эвенсена (или других инвариантных критериев).
4. Рассмотрим схему оценки прочности композитной трубы с нам кой волокон под углами ± а при кручении, когда элемент материала п вергается чистому сдвигу (рис. 5). Действующие касательные напря; ння т можно заменить силами Pi = 2т/sin а и Р2 = 2т/cos а, прыложеннь к вершинам ромба, состоящего из волокон двух семейств / и 2, ы напр ленными перпендикулярно друг другу, как показано на рис. 5. Раск дывая силы Pi и Р2 вдоль волокон первого и второго семейств, мы уб даемся, что эти силы не вызывают «искажения» решетки, т. е. повор волокон и изменения угла а. Поэтому добавление кручения не вно
22-1
изменения в баланс энергии, приведенный в работе [2] для вывода уравнения (1). Под действием усилий, направленных вдоль во локон, может происходить их укорочение или удлинение и параллельный сдвиг слоев первого семейства относительно второго. Считаем, что волокна достаточно жесткие и их удлинения не существенны. При смеще нии узлов на А/ работа внешних сил равна
Y 4т/Д/, и она расходуется на деформирова
ние волокон (которым мы в силу жесткости волокон пренебрегаем) и на изменение пло
щади ромба за счет сдвига слоев. Изменение площади параллелограмма при смещении стороны равно, как нетрудно подсчитать, All sin 2а. Если обозначить удельную работу смещения слоев на единицу площади S и написать равенство работы сил Pi и Р2 и работы по изменению площади ромба, то получим соотношение т = 5 sin 2а (5 имеет размерность напря жения). Предельное напряжение т соответствует критическому значению параметра 5. Отметим, что в работе [3] при обработке данных по проч ности при кручении стекло- и углепластиковых труб была из других со ображений получена такая же зависимость прочности от угла намотки волокон:
т=т* (45) sin 2а. |
(8) |
На основании простых соотношений (5) и (8) можно указать угол а* оптимальной (равнопрочной) укладки волокон по схеме ± а для трубы, подверженной комбинации внутреннего давления, осевой силы и круче ния. Считаем действие касательных и нормальных напряжений независи мым, поэтому условие равнопрочности означает одновременное достиже ние критического искажения решетки и сдвига слоев, т. е. одновремен ное выполнение условий (5) и (8):
т |
а0 |
|
т* (45) sin 2а |
a*z(45) tg а — а*о (45) ctg а |
(9) |
Для известных «базовых» прочностей т*(45), а*2(45), а*е(45) |
и для за |
данных отношений между напряжениями в трубе (3 = ae/az и т/ae, опреде ленных условиями нагружения, нетрудно из (9) определить оптималь ный угол намотки а*. Например, при a*z(45) = a*e(45) ит*(45) = 720*z(45)
уравнение |
(9) принимает |
вид: т = сте cos2 a — crz sin2 a. Пусть условия на |
|
гружения |
обеспечивают |
соотношения OQ= GZ |
((3=1); T =720Z- Тогда |
a* = 7г arccos(±0,5) =60° |
(или 30°). Но условие |
(6) при этом не выпол |
няется. Удовлетворить условиям (6) и (9) одновременно можно лишь введением третьего семейства волокон.
5. Уравнения (1), (8) выведены при условии линейного поведения материала и, строго говоря, справедливы лишь для оценки предела пропорциональности при дефор мировании труб, которое может перед полным разрушением быть существенно нелиней ным. Однако вывод в некоторых случаях можно повторить и для нелинейного упрочне ния. При одноосном растяжении ромбического элемента (см. рис. 1) растягивающая сила, приложенная к вершине ромба, равна P = 2 o l sin а, смещение вершины 6 = /Aasina. Примем степенную связь P n = k 16. Работа приложенной силы равна:
IPd8 = |
пР п + 1 |
ti2ol sin akilA a sin a |
k1(/i+l) |
k\(n+1) |
Момент, препятствующий повороту волокон, |
пропорционален площади ромба М = |
= [il2 sin a cos a. Считаем, что он связан с углом |
поворота Да степенным соотношением |
С тём >Ке показателем: Mn = k 2Aa. Работа Поворота йоЛокон против момента равна:
4 |
nMn+l |
4nk2Aa\il2 sin a cos a |
Md(A а) = 4 |
^2(^ + 1 ) |
|
|
k2(n + l) |
|
Приравнивая два |
выражения для работ, |
получаем известное соотношение [2, 3]: |
a = 2 p c tg a , отражающее характер зависимости прочности при растяжении от угла пере крестной намотки волокон.
Таким образом, предложенный способ обработки экспериментальных данных по прочности композитных труб при сложном напряженном со стоянии позволяет с приемлемой точностью описать результаты на осно вании небольшого числа независимых экспериментов и указать опти мальный («равнопрочный») угол перекрестной намотки волокон для дан ного вида плоского напряженного состояния.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.By Э. М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. — В кн.:
Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. М., 1978,
с.401—491.
2.Работное Ю. Н. О прочности композитов, армированных в двух направлениях. —
Механика полимеров, 1978, № 5, с. 832—834.
3. Работное 10. Н., Данилова И. Н., Полилов А. Н., С околова Т. В., Карпейкин И. С., Вайнберг М. В. Исследование прочности намоточных эпоксидных угле- и стек лопластиков при кручении, растяжении и поперечном изгибе. — Механика полимеров, 1978, № 2, с. 219—225.
4. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., 1965. 272 с.
5. Работное Ю. Н., Полилов А. Н., Данилова И. Н., Грот В. В., С околова Т. В.
О несущей способности труб из композиционных материалов в условиях сложного на пряженного состояния. — Тез. докл. III Всесоюзн. симп. по механике конструкций из композиционных материалов. Ереван, 1979, с. 141— 142.
6. Мартиросян М. М. Упрочнение ориентированного стеклопластика при двухосном
растяжении. — Механика полимеров, 1976, № 6, с. 1025— 1029. |
|
|
7. Eckold G. С., Leadbetter D., Soden Р. D., Griggs |
Р. R. Lamination theory in the |
|
prediction of failure envelopes for filament wound |
materials subjected to |
biaxial |
loading. — Composites, 1978, vol. 9, N 4, p. 243—246. |
|
|
8. Soden P. D., Leadbetter D., Griggs P. R., Eckold |
G. C. The strength of a filament |
|
wound composite under biaxial loading. — Composites, |
1978, vol. 9, N 4, p. 247—250. |
|
Институт машиноведения АН СССР |
Поступило в редакцию |
11.11.79 |
им. А. А. Благонравова, М осква |
|
|
УДК 539.376:530.146
В. В. Колокольчиков
ЭФФЕКТЫ МАЛЫХ ВРЕМЕН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
ВСРЕДАХ С ПАМЯТЬЮ
1.Волновые уравнения движения. Рассмотрим волну, возмущение от которой может быть обнаружено с некоторой вероятностью в распро страняющейся области очень тонкого поверхностного слоя. Толщина по верхностного слоя много меньше двух других размеров слоя. В отличие от [1] толщина является микроскопическим параметром, т. е. рассматри вается мощная волна. Для ее описания необходимо учитывать квантовые эффекты. Аппарат квантовой [2] механики частиц или квантовой теории поля, через которое взаимодействуют частицы, непосредственно без сложной статистики, за исключением некоторых частных случаев, не при меним, так как у рассматриваемых волновых поверхностей всего один размер микроскопичности.
Введем для некоторой /-й волны (/ = 1 ,2 ,..., АА, где N — число волн) время tj ее прихода в геометрическую точку х пространства наблюда теля. В случае квантового описания поведения рассматриваемых нело кальных волн введем нормированную временную волновую функцию
фг= фД^О), х) =tyt(ti,t2, •••>tN, х ) ; j* |Ф<\2dt(j)= 1, |
(1.1) |
квадрату модуля которой придадим смысл плотности во временном кон фигурационном пространстве t(jy (t\, t2, . .. , tN) — вероятности попадания системы волн в точку х в моменты tu ^2, •••, tN.
Пусть заданы p,j — интенсивности потенциального сопротивления движению /-волны; Ot(tj,x) — тензор истории энергии накачки [1]. Возникает задача получения уравнений, необходимых для определения временной волновой функции % (t^, х) ( 1.1).
Запишем квантовые уравнения движения нелокальных волн в форме Якоби—Гамильтона. При этом уравнения должны переходить в полевые уравнения работы [1] в неквантовом случае. Кроме того, имеет место аналогия между квантовой механикой частиц и нелокальных волн, при чем в основном уравнения одной теории должны переходить в уравне ния другой при взаимной замене х и t. Поэтому после взаимной замены временных и пространственных величин в уравнениях квантовой меха ники, записанных в форме Якоби—Гамильтона, получим для вводимой
производящей вектор-функции s (t^ (я), х) |
уравнение |
|
|
||||||||
„ |
* / |
ds |
, т |
s |
д |
|
\ |
- |
- { ds s д \ |
||
Vs (/м> х) + Hth ( f |
|
— |
, х ) = 0; |
Htk= К, [ |
■-щ - ) |
+ |
|||||
|
|
|
|
|
+ Ui(t(j), х)\ |
|
|
|
(1.2) |
||
|
* _ |
1 |
V1 |
1 |
/ |
<5s |
ds |
ifits |
d2s |
\ |
|
|
< |
2 |
“ |
pj |
\ |
dtj |
dtj |
s |
d tf |
/ |
|
Здесь s = |s |; i — мнимая единица; fit — нелокальная квантовая постоян ная, пропорциональная постоянной Планка, деленной на 2л:(fit=fic^).
Коэффициент пропорциональности с* имеет размерность скорости, этому с* — характерная скорость волн (см. п. 3). Как следует из (1. уравнения для s нелинейные. Нелинейное уравнение (1.2) при помо специальной замены приводится к линейному уравнению только в ча ном случае, когда направление производящего вектора s, определ* щего направление движения волн,
s/s = e(tU),x) |
(1 |
постоянно — е = е° = const.
В самом деле, перейдем в общем случае от s к временной волное функции ф4 по формуле
|
|
Ф*о=Ф*/ф*°= ехр( -— |
s ) |
(1 |
|||
Подставим |
(1.3), |
(1.4) в ( 1.2) и получим: |
|
|
|
||
|
|
|
N |
|
|
|
|
#^(еУф<0+ф*0 In iJxoVe) = — J], |
— [ ^ -^ -e e + 2(ln фю+1) X |
||||||
|
|
|
j=1 |
|
L |
dt? |
|
дф*о |
де |
. |
/, |
де |
де |
д2е \ 1 |
- |
|
|
|
|
dtj |
dtj |
dtj |
|
Из соотношений (1.5) следует вывод, что если направление произво, щей вектор-функции s не постоянно, то квантовое уравнение (1.5) временной функции ф* нелинейно. При постоянстве направления s ур нение (1.5) перепишется так:
N
1#ге°Уфг
Для ф(0 порядка 1 уравнение (1.5) также линейно:
N |
|
де |
д2Ь |
t + 2 d^t |
|
^еУ ф *= —£“ -£2p,j•[L dtj2 |
dtj dtj |
фь О
+ £ЛФ<.
2.Предельный переход. Получим уравнения, в которые перехо
соотношения (1.5) или (1.2) при предельном переходе 0. Для эт вектор s представим в виде разложения в формальный ряд по степе! fit/i:
s ~ So+ (■ f')Si+(^r) S2+
Подставим ряд (2.1) в (1.2) и приравняем коэффициенты при одинг вых степенях fit. Первые два уравнения будут иметь вид:
1 |
ds0 |
ds0 + Ut = 0; |
( |
||||
V XSQ+ |
|||||||
2 “ TPj |
dtj |
dtj |
|
|
|
|
|
V xSi + |
dsi |
1 |
So |
& 1So |
\ |
= |
|
dtj |
2 |
s0 |
dtj2 |
I |
( |
||
|
|||||||
|
|
Уравнение (2.2) представляет собой запись неквантового уравнения j жения волн [1] в форме Якоби—Гамильтона. Преобразуем уравне
(2.3). Ограничиваясь в (2.1) двумя слагаемыми, при помощи (1.6) най дем р — плотность (в конфигурационном пространстве времен) вероят ности нахождения волн в точке х в моменты tj (/= 1 ,2 ,..., N) :
Ро=р/|Ф*°|2= |ф<о|2= е2в|. |
(2.4) |
Здесь Si — модуль вектора Sj. Обозначим через е0 и ei направляющие единичные векторы s0 и s f
|
e0= s0/s0; |
e l = si/sl. |
(2.5) |
Из (2.4) и (2.5) вытекают равенства |
|
|
|
dp |
ds1 |
Qi = peL; |
2pV*Si = V *ei- |
- j ^ = 2 p - ^ - ; V*p = 2pV:cSi; |
|||
|
— p(.l —In po) Vxeb |
(2.6) |
2p- J r s,=^ ei_p(1_lnpo)^ r ei-
Подстановка (2.6) в (2.3) с учетом равенств [1] Ij= ds = p.jV^дает уравнение непрерывности с правой частью для вектора QI:
JV |
N |
|
V xp i+ |
V^j) = р (1 — In р°) ( v xe i+ ^ |
+ |
j=i |
j=i |
J |
3. Свободная мощная импульс-поверхность. В качестве примера рас смотрим импульс-поверхность, наделенную волновыми свойствами, рас пространяющуюся в направлении е0 оси х без накачки Ut= 0 и обладаю щую положительной энергией (историей полной энергии) £*>>0 в точке х. По аналогии с гипотезой де Бройля в квантовой механике предполо жим, что свободному движению импульс-поверхности соответствует плоская волна с волновым числом k и частотой ю. Для волны длиной к, распространяющейся в однородной среде,
Ф<='чг<(ОехР ( - 1'£'^/^); E t= 2j!А~ • |
(3.1) |
Здесь *F*(f) — функция только t. Подставим (3.1) в (1.6). При однород ной накачке Ot = Ut (t)е°е° получим уравнение для 4яt(t):
d2y¥t(t)
---- ^ ! - + [ ( s i g n £ () r s-2|it/,/«,2] ,I,<(0=0; |
|
P = 2(i|E,/ff<2, |
(3.2) |
где р — постоянная сопротивления движению волны. Для волны без на качки (3.2) дает решение для Ч'Д/):
Wt (t) = A exp (07) |
+ В exp ( - iTt) ; В = 0. |
(3.3) |
Так как волна распространяется |
в положительном направлении |
х, то |
£ = 0. Из (3.3) вытекает, что
2p|£f|,/ _
(3.4)
Пг
есть частота со. Из второго соотношения (3.1) следует формула для в< нового числа /г = 2лД:
k = E l/nl. |
(3 |
В работе [1] получено, что |
|
£ ; = /2/2щ |
(3 |
где I — модуль потока заторможенности импульс-поверхности. |
|
Из (3.5), (3.6) следует: |
|
со = //«,. |
(3 |
Формулы (3.5), (3.7) аналогичны формулам де Бройля в квантов механике (со = Е/й, k = p/ii). Из (3.4) и второго равенства (3.1) след} формула для сопротивления движению р, свободной плоской воли p,=#fA,co2/4jt.
При помощи (3.5) — (3.7) получаем формулу для фазовой скорое уфплоской волны иф= со/& = 2|л//. Но из [1] следует, что скорость v и пульс-поверхности (не наделенной волновыми свойствами, рассмат^ ваемой классически) равна v = \i/I. Отсюда уф= 2у.
Фазовая скорость распространения плоской волны в два раза болы скорости распространения свободной импульс-поверхности. В квантов механике фазовая скорость распространения плоской волны в два ра меньше скорости частицы, обладающей волновыми свойствами [2, с. 1 Поэтому длина волны будет иметь вид:
Х=4яу/со. |
(3 |
Подстановка связи fit ей , (3.8) во второе равенство (3.1) дает связь i тории энергии E t с энергией Е = а>й, переносимой плоской волной:
E t = E с* |
(3 |
2v |
|
С другой стороны, история энергии одной импульс-поверхности совг дает с энергией, переносимой волной Et = E. При неквантовом рассш рении [1] это соотношение для одной импульс-поверхности удовлетво^ ется за счет выбора в качестве объема V* пространственной ячей характерного объема, занимаемого слоем одной импульс-поверхнос' Учитывая (3.9) и то, что E t= E, а иф= 2и, находим: с* = уф. Отсюда noj чается связь fit с постоянной й: 'Ht = vipfi.
Заметим, что квантовую импульс-поверхность, наделенную вол! выми свойствами, нельзя трактовать классически. Вероятность обна{ жить волну (3.1), (3.3) при £ = 0 не зависит от х и t. Свободные мощи импульс-поверхности с равной вероятностью могут быть обнаружены любом месте и в любое время.
4. Захват в виде ямы. Рассмотрим две волны, движущиеся вдоль с х. Пусть первая волна может захватывать вторую. Простейший вид хвата будем моделировать так. Имеется скачок истории энергии накач Ut, равный Uо (глубина ямы). Этот скачок можно испытать, если волны в точку х приходят с характерной задержкой по времени /0= соп Кроме того, волны отталкиваются при бесконечно малых задержк (XF< = 0 при t = 0, состояния отрицательной четности). В уравнении (1 примем для второй волны:
где t — время задержки второго импульса относительно первого; fo
максимальная задержка с захватом. В случае истории накачки (4.1) уравнение (3.2) для функции Ч^/) распадается на два уравнения:
d?¥t |
1 |
[2p(f/0- e) ] ,/a; U0>e\ |
■ +ао2гРг = 0; |
а0= — |
|
|
|
(4.2) |
d2x¥t |
1 |
|
- ^ - P o 21F* = 0; |
о; p<>=— |
[2це]Ч e = -£<>(). |
Здесь рассматривается случай отрицательных историй энергий E t (для отдельной волны E t — энергия волны). В квантовой механике отрица тельные энергии появляются при описании связанных состояний частиц. Если история энергии волны Et отрицательна, то, значит, отрицательной является суммарная по времени энергия составляющих волн. Чтобы от личить связанное состояние частиц от волны с отрицательной историей энергии, в последнем случае будем говорить о связанном в среднем по времени состоянии волн. При конечном промежутке рассмотрения свя занных в среднем по времени состоянии волн следует положить ^ (о о ) = = 0. Решение (4.2), удовлетворяющее указанным граничным условиям, имеет вид [2]: =Л0 sin a Qt; t ^ t 0; '¥t = B0ехр( — р00 ; t ^ t 0.
Условия непрерывности Wt и^-Ч"* при t = t0приводят к трансцендент
ному уравнению для возможных уровней истории энергии |
E tn= — еп- |
т]=—gctg£; £2 + Ti2 = 2pLVo2/#o2; 1= Ыо\ Л = Мо- |
(4.3) |
В [2] (см. рис. 8, с. 171) приводится графическое решение уравнения (4.3). При 2\iUoto2/tto2<in,2f4: на плоскости £, нет пересечения кривых, определяемых первым и вторым соотношениями (4.3). В этом случае нет связанных в среднем по времени состояний волн. При л2/4^2(х[/0^о2/^2,< < 9 л 2/4 имеется одно пересечение указанных кривых, связанное в сред нем по времени состояние с отрицательной историей энергии. Эта исто рия энергии (энергия) определяется по значению т^ь соответствующему пересечению указанных кривых, при помощи последних формул (4.2),
(4.3) так: Ец = —fit2Л) Так как функция ctg£ периодическая, то для 2pi02
других разных уровней 2pLVo2/#t2 произведения интенсивности сопро тивления волны, глубины ямы, квадрата длительности ямы, определяю щего наличие связных состояний, будет два, или три, или четыре и т. д. пересечений кривых, определяемых первым и вторым соотношениями (4.3). Тогда волна может находиться в двух, или трех, или четырех и т. д. связанных в среднем по времени состояниях. Если координаты г) этих пересечений обозначить через т]п, то история энергии в этих состоя
ниях будет равна: |
|
£ '" “ — Й2ц/02т |
(4'4) |
Если вторая волна может догнать первую, то реализуются состояния
с положительной четностью. В этом случае можно принять ■^-Чг<= 0 при
/= 0. Тогда 'F* будут иметь вид:
Чгг=Л0 cos a 0t\ t^t\ ЧГ<= В0 exp ( — $0t) ; t ^ t 0,
а первое уравнение в (4.3) для уровней энергии будет заменяться таким:
4 = 6 ctg |
(4.5) |
Поэтому в (4.4) т|п будет иметь смысл координат т] пересечения крив! (4.5) с окружностью, задаваемой вторым равенством (4.3).
Если захватывающая волна является очень мощной (UQ^> |£*|), для бесконечно глубокой ямы UQ= OO и
|
лп |
, |
п = п М = 1,3,5,. |
COS - г - |
t |
||
-я |
tо |
п = п(-'> = 2, 4, 6, |
E tn= —n?fit2n2l2\ito2] п =
|
лп |
x¥t= 1/ -у-, sisin — t ; |
|
* i foto |
Ч) |
Г л<+> | (_} ,
/l(-
где /г<+) — положительная четность; «Н — отрицательная.
Плотность вероятности обнаружения волны в разные моменты вр мени, отсчитываемые от стенок ямы, разная для разных времен. Напр мер, при п = 2 волна не может быть обнаружена в момент t = t0f2, соотве ствующий середине ямы, но одинаково часто бывает во времена, один ково отстоящие (ранние и поздние) от этого момента. В классическс представлении об импульс-поверхности ее пребывание в яме во време! равновероятно.
Заметим, что в слоистом композите процессы во внешней среде каждого слоя могут быть моделированы первой волной. Тогда проце отражения волны от границ очень тонкого слоя может быть изучен п добным образом. Динамика отражения в адгезионном слое также укл дывается в методику настоящего пункта.
5. Преодоление волнового барьера. Пусть история накачки имеет BI
баРьеРа: |
, „ t<=t . |
№ |
|
ад>-? St |
|
В (5.1) t — время задержки прихода импульс-поверхности в л: по сра |
нению с барьером; t0 — время задержки, когда барьер начинает действ вать на импульс-поверхность. В качестве барьера может быть неподвю ный слой компонента композита или ранняя широкая импульс-повер ность. В [1] при использовании волновых представлений для импуль поверхностей были получены детерминированные коэффициенты отраж ния и пропускания от границ компонентов композита. Из уравнений дв жения [1] импульс-поверхностей следует, что при накачке (5.1) для и] пульса с энергией E t> U 0 он пройдет сквозь барьер. При вхождении ш
пульса |
в барьер (£~/0) скорость уменьшается, при выходе из |
не: |
(£ ~ 0) |
— восстанавливается. Если E t<C.Uo, то по неквантовым уравн |
|
ниям [1] импульс идеально отражается от барьера. Из уравнений |
(3.2 |
(5.1) вытекает, что всегда имеется некоторая вероятность частичного о ражения от барьера и частичного прохождения через барьер.
Решения (3.2), (5.1) для 4х и |
dWt |
должны быть непрерывными п; |
dt |
переходе через значения ^ = 0 и t= t0. Пусть А, В, С являются соответс венно' амплитудами падающей, отраженной и прошедшей волн. Тог; коэффициенты отражения R и прохождения D определяются та
R = B2IA2; D = C2fA2; R + D = 1.
Учтем, что решения (3.2), (5.1) для плоских импульс-поверхност< получаются из решения уравнений квантовой механики в одномернс случае прохождения частицы через потенциальный барьер [2, с. 101] заменой ф(л:), х, Е , U(x), И, массы т, k соответственно на W t(t), t, L Ut{t), Ht, ц, со. При E t< .U Qполучается приближенное значение D:
to
Я = ехP ( ~ |
J {2v. [ U , ( i ) - E t] } U t ) . |
(5.: |