Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1178

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
11.16 Mб
Скачать

30

10

 

-1C

бекгс/пн*

 

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 2. Вид предельной поверхности, для композитных труб с намоткой волокон под углами ±45° О — экспериментальные данные работы [5].

Рис. 3. Данные работы [6] по прочности при двухосном нагружении труб из стеклоплас­ тика СВАМ (1 1), намотанного под углами ±45°

Естественное уточнение положения прямой 3, ограничивающей прочность волокон, связано с учетом неравного сопротивления разрушению при окружном и осевом растя­ жении вдоль волокон. Таким образом, прямая 3 должна соединять точки о*2 (0) н 0 *е (90), соответствующие разрушению при осевом нагружении композитной трубки с укладкой а = 0° и разрушению от окружных напряжений трубки с укладкой а = 90° С практической точностью прямую 3 можно проводить перпендикулярно прямым 1 и 2

вточке, соответствующей предельным напряжениям при оптимальном угле.

2.На рис. 3 приведены экспериментальные данные из работы [6], по­ лученные при ступенчатом (непропорциональном) нагружении труб из

стеклопластика СВАМ (1 1) с укладкой а = ± 4 5 ° комбинацией осевой растягивающей силы и внутреннего давления. Как видно из рис. 3, ре­ зультаты хорошо описываются по предложенной схеме, если принять о*е(45)=13 кгс/мм2, о%(45) = 14 кгс/мм2, сг*е(90)=22 кгс/мм2, a*z(0) = = 26 кгс/мм2. Вполне удовлетворительное описание можно получить с по­ мощью двух экспериментальных параметров, положив a*e(45) = a*z(45), a*e(90) = a*z(0). Тогда линии 1—3 для a = 45° имеют также наклон 45° и прямая 3 ортогональна прямым 1 и 2.

Вообще говоря, для приближенного описания прочности композитных труб в зависимости от угла укладки волокон и от вида напряженного со­ стояния (от (3) в области az> 0 , ae> 0 необходимы всего два независи­ мых эксперимента. Нужно определить прочность a*z(45) при растяжении с намоткой под углами ±45° и прочность на растяжение вдоль волокон

a*z(0). Тогда

при растяжении согласно [2, 3]

a*z(a) =o*z(45) ctg a (см.

(1), а при а,

близких к 0° (а < 1 5 °), можно

считать прочность равной

a*z(0). Прочность при чистом внутреннем давлении можно в первом при­ ближении считать равной прочности при растяжении a*z (а) ^ст*е(90 — а). С помощью значения a*z(a), рассчитанного через a*z(45) по (5), можно построить прямые линии 1, 2, описывающие прочность при различных от­ ношениях |3 = ae/az, а используя a*z(0) (если принять a*z(0) ?^a*e(90), построить прямую 3, оценивающую прочность по условию разрыва волокон. Таким образом, всего из двух простых экспериментов можно в принципе оценить весь набор предельных поверхностей для труб с раз­ личными углами намотки при комбинации осевого растяжения и внут­ реннего давления. В области осевого сжатия добавляется один экспери­ ментальный параметр a**z(a), и предельное состояние при комбинации

Рис. 4. Предельные поверхности в плоскости Oe—o z для стеклопластиковых труб с моткой волокон под углами ±55° (а), ±35° (б) и ±72,5° (в). О — эксперименталь

данные работ [7, 8].

3. В работах [7, 8] приведены обширные экспериментальные дань по прочности намоточных стеклопластиковых труб с полиэфирной мат цей под действием комбинации осевого усилия (растяжения или сжат] и внутреннего давления. Результаты, показанные на рис. 4, взяты работ [7, 8]. Теоретические прямые J, 2, 4 построены по уравнениям или (5), а прямая 3 — по уравнению (7). Отсутствие дополнительь данных по прочности под другими углами, например су*2(45) и а*2(0), позволяет определить независимо параметры а*2(а) и а*е(а), поэте обработка данных состояла в проведении предельных прямых 1, 2 i углом а* (6), через экспериментальные точки а*2(а), а*е(а) (а = 35; 72,5°). В первом приближении экспериментальные результаты удовл ворительно описываются предложенными простыми соотношениями. 1 ьцественно, что наибольшие значения разрушающих напряжений реа зуются при оптимальном отношении между напряжениями p = tg2< Ха*о(а)/а*2(а) (линия под углом arctg[3 проведена на рис. 4 штр пунктиром).

Авторы [7, 8] обработали свои результаты с помощью крите] Пуппо—Эвенсена и получили хорошее согласие, однако, по их собств ному мнению, этот критерий приводит к громоздким выкладкам, ньп не отражает характер разрушения, и эмпирические параметры пр посты, определенные для одной укладки, не могут быть ыспользовг для других укладок.

Предлагаемый в данной работе подход лишен указанных недост ков, хотя и не обеспечивает такой точности описания экспериментов, торую можно достичь, подбирая должным образом параметры крите] Пуппо—Эвенсена (или других инвариантных критериев).

4. Рассмотрим схему оценки прочности композитной трубы с нам кой волокон под углами ± а при кручении, когда элемент материала п вергается чистому сдвигу (рис. 5). Действующие касательные напря; ння т можно заменить силами Pi = 2т/sin а и Р2 = 2т/cos а, прыложеннь к вершинам ромба, состоящего из волокон двух семейств / и 2, ы напр ленными перпендикулярно друг другу, как показано на рис. 5. Раск дывая силы Pi и Р2 вдоль волокон первого и второго семейств, мы уб даемся, что эти силы не вызывают «искажения» решетки, т. е. повор волокон и изменения угла а. Поэтому добавление кручения не вно

22-1

Рис. 5. Схема деформирования элемента перекрестно армиро­ ванных композитных труб при кручении (сдвиге).

изменения в баланс энергии, приведенный в работе [2] для вывода уравнения (1). Под действием усилий, направленных вдоль во­ локон, может происходить их укорочение или удлинение и параллельный сдвиг слоев первого семейства относительно второго. Считаем, что волокна достаточно жесткие и их удлинения не существенны. При смеще­ нии узлов на А/ работа внешних сил равна

Y 4т/Д/, и она расходуется на деформирова­

ние волокон (которым мы в силу жесткости волокон пренебрегаем) и на изменение пло­

щади ромба за счет сдвига слоев. Изменение площади параллелограмма при смещении стороны равно, как нетрудно подсчитать, All sin 2а. Если обозначить удельную работу смещения слоев на единицу площади S и написать равенство работы сил Pi и Р2 и работы по изменению площади ромба, то получим соотношение т = 5 sin 2а (5 имеет размерность напря­ жения). Предельное напряжение т соответствует критическому значению параметра 5. Отметим, что в работе [3] при обработке данных по проч­ ности при кручении стекло- и углепластиковых труб была из других со­ ображений получена такая же зависимость прочности от угла намотки волокон:

т=т* (45) sin 2а.

(8)

На основании простых соотношений (5) и (8) можно указать угол а* оптимальной (равнопрочной) укладки волокон по схеме ± а для трубы, подверженной комбинации внутреннего давления, осевой силы и круче­ ния. Считаем действие касательных и нормальных напряжений независи­ мым, поэтому условие равнопрочности означает одновременное достиже­ ние критического искажения решетки и сдвига слоев, т. е. одновремен­ ное выполнение условий (5) и (8):

т

а0

 

т* (45) sin 2а

a*z(45) tg а — а*о (45) ctg а

(9)

Для известных «базовых» прочностей т*(45), а*2(45), а*е(45)

и для за­

данных отношений между напряжениями в трубе (3 = ae/az и т/ae, опреде­ ленных условиями нагружения, нетрудно из (9) определить оптималь­ ный угол намотки а*. Например, при a*z(45) = a*e(45) ит*(45) = 720*z(45)

уравнение

(9) принимает

вид: т = сте cos2 a — crz sin2 a. Пусть условия на­

гружения

обеспечивают

соотношения OQ= GZ

((3=1); T =720Z- Тогда

a* = 7г arccos(±0,5) =60°

(или 30°). Но условие

(6) при этом не выпол­

няется. Удовлетворить условиям (6) и (9) одновременно можно лишь введением третьего семейства волокон.

5. Уравнения (1), (8) выведены при условии линейного поведения материала и, строго говоря, справедливы лишь для оценки предела пропорциональности при дефор­ мировании труб, которое может перед полным разрушением быть существенно нелиней­ ным. Однако вывод в некоторых случаях можно повторить и для нелинейного упрочне­ ния. При одноосном растяжении ромбического элемента (см. рис. 1) растягивающая сила, приложенная к вершине ромба, равна P = 2 o l sin а, смещение вершины 6 = /Aasina. Примем степенную связь P n = k 16. Работа приложенной силы равна:

IPd8 =

пР п + 1

ti2ol sin akilA a sin a

k1(/i+l)

k\(n+1)

Момент, препятствующий повороту волокон,

пропорционален площади ромба М =

= [il2 sin a cos a. Считаем, что он связан с углом

поворота Да степенным соотношением

С тём >Ке показателем: Mn = k 2Aa. Работа Поворота йоЛокон против момента равна:

4

nMn+l

4nk2Aa\il2 sin a cos a

Md(A а) = 4

^2(^ + 1 )

 

k2(n + l)

Приравнивая два

выражения для работ,

получаем известное соотношение [2, 3]:

a = 2 p c tg a , отражающее характер зависимости прочности при растяжении от угла пере­ крестной намотки волокон.

Таким образом, предложенный способ обработки экспериментальных данных по прочности композитных труб при сложном напряженном со­ стоянии позволяет с приемлемой точностью описать результаты на осно­ вании небольшого числа независимых экспериментов и указать опти­ мальный («равнопрочный») угол перекрестной намотки волокон для дан­ ного вида плоского напряженного состояния.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.By Э. М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. — В кн.:

Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. М., 1978,

с.401—491.

2.Работное Ю. Н. О прочности композитов, армированных в двух направлениях. —

Механика полимеров, 1978, № 5, с. 832—834.

3. Работное 10. Н., Данилова И. Н., Полилов А. Н., С околова Т. В., Карпейкин И. С., Вайнберг М. В. Исследование прочности намоточных эпоксидных угле- и стек­ лопластиков при кручении, растяжении и поперечном изгибе. — Механика полимеров, 1978, № 2, с. 219—225.

4. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., 1965. 272 с.

5. Работное Ю. Н., Полилов А. Н., Данилова И. Н., Грот В. В., С околова Т. В.

О несущей способности труб из композиционных материалов в условиях сложного на­ пряженного состояния. — Тез. докл. III Всесоюзн. симп. по механике конструкций из композиционных материалов. Ереван, 1979, с. 141— 142.

6. Мартиросян М. М. Упрочнение ориентированного стеклопластика при двухосном

растяжении. — Механика полимеров, 1976, № 6, с. 1025— 1029.

 

7. Eckold G. С., Leadbetter D., Soden Р. D., Griggs

Р. R. Lamination theory in the

prediction of failure envelopes for filament wound

materials subjected to

biaxial

loading. — Composites, 1978, vol. 9, N 4, p. 243—246.

 

 

8. Soden P. D., Leadbetter D., Griggs P. R., Eckold

G. C. The strength of a filament

wound composite under biaxial loading. — Composites,

1978, vol. 9, N 4, p. 247—250.

Институт машиноведения АН СССР

Поступило в редакцию

11.11.79

им. А. А. Благонравова, М осква

 

 

УДК 539.376:530.146

В. В. Колокольчиков

ЭФФЕКТЫ МАЛЫХ ВРЕМЕН ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

ВСРЕДАХ С ПАМЯТЬЮ

1.Волновые уравнения движения. Рассмотрим волну, возмущение от которой может быть обнаружено с некоторой вероятностью в распро­ страняющейся области очень тонкого поверхностного слоя. Толщина по­ верхностного слоя много меньше двух других размеров слоя. В отличие от [1] толщина является микроскопическим параметром, т. е. рассматри­ вается мощная волна. Для ее описания необходимо учитывать квантовые эффекты. Аппарат квантовой [2] механики частиц или квантовой теории поля, через которое взаимодействуют частицы, непосредственно без сложной статистики, за исключением некоторых частных случаев, не при­ меним, так как у рассматриваемых волновых поверхностей всего один размер микроскопичности.

Введем для некоторой /-й волны (/ = 1 ,2 ,..., АА, где N — число волн) время tj ее прихода в геометрическую точку х пространства наблюда­ теля. В случае квантового описания поведения рассматриваемых нело­ кальных волн введем нормированную временную волновую функцию

фг= фД^О), х) =tyt(ti,t2, •••>tN, х ) ; j* |Ф<\2dt(j)= 1,

(1.1)

квадрату модуля которой придадим смысл плотности во временном кон­ фигурационном пространстве t(jy (t\, t2, . .. , tN) — вероятности попадания системы волн в точку х в моменты tu ^2, •••, tN.

Пусть заданы p,j — интенсивности потенциального сопротивления движению /-волны; Ot(tj,x) — тензор истории энергии накачки [1]. Возникает задача получения уравнений, необходимых для определения временной волновой функции % (t^, х) ( 1.1).

Запишем квантовые уравнения движения нелокальных волн в форме Якоби—Гамильтона. При этом уравнения должны переходить в полевые уравнения работы [1] в неквантовом случае. Кроме того, имеет место аналогия между квантовой механикой частиц и нелокальных волн, при­ чем в основном уравнения одной теории должны переходить в уравне­ ния другой при взаимной замене х и t. Поэтому после взаимной замены временных и пространственных величин в уравнениях квантовой меха­ ники, записанных в форме Якоби—Гамильтона, получим для вводимой

производящей вектор-функции s (t^ (я), х)

уравнение

 

 

* /

ds

, т

s

д

 

\

-

- { ds s д \

Vs (/м> х) + Hth ( f

 

, х ) = 0;

Htk= К, [

-щ - )

+

 

 

 

 

 

+ Ui(t(j), х)\

 

 

 

(1.2)

 

* _

1

V1

1

/

<5s

ds

ifits

d2s

\

 

 

<

2

pj

\

dtj

dtj

s

d tf

/

 

Здесь s = |s |; i — мнимая единица; fit — нелокальная квантовая постоян­ ная, пропорциональная постоянной Планка, деленной на 2л:(fit=fic^).

Коэффициент пропорциональности с* имеет размерность скорости, этому с* — характерная скорость волн (см. п. 3). Как следует из (1. уравнения для s нелинейные. Нелинейное уравнение (1.2) при помо специальной замены приводится к линейному уравнению только в ча ном случае, когда направление производящего вектора s, определ* щего направление движения волн,

s/s = e(tU),x)

(1

постоянно — е = е° = const.

В самом деле, перейдем в общем случае от s к временной волное функции ф4 по формуле

 

 

Ф*о=Ф*/ф*°= ехр( -—

s )

(1

Подставим

(1.3),

(1.4) в ( 1.2) и получим:

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

#^(еУф<0+ф*0 In iJxoVe) = — J],

— [ ^ -^ -e e + 2(ln фю+1) X

 

 

 

j=1

 

L

dt?

 

дф*о

де

.

/,

де

де

д2е \ 1

-

 

 

 

 

dtj

dtj

dtj

 

Из соотношений (1.5) следует вывод, что если направление произво, щей вектор-функции s не постоянно, то квантовое уравнение (1.5) временной функции ф* нелинейно. При постоянстве направления s ур нение (1.5) перепишется так:

N

1#ге°Уфг

Для ф(0 порядка 1 уравнение (1.5) также линейно:

N

 

де

д2Ь

t + 2 d^t

^еУ ф *= —£ 2p,j•[L dtj2

dtj dtj

фь О

+ £ЛФ<.

2.Предельный переход. Получим уравнения, в которые перехо

соотношения (1.5) или (1.2) при предельном переходе 0. Для эт вектор s представим в виде разложения в формальный ряд по степе! fit/i:

s ~ So+ (■ f')Si+(^r) S2+

Подставим ряд (2.1) в (1.2) и приравняем коэффициенты при одинг вых степенях fit. Первые два уравнения будут иметь вид:

1

ds0

ds0 + Ut = 0;

(

V XSQ+

2 “ TPj

dtj

dtj

 

 

 

 

V xSi +

dsi

1

So

& 1So

\

=

dtj

2

s0

dtj2

I

(

 

 

 

Уравнение (2.2) представляет собой запись неквантового уравнения j жения волн [1] в форме Якоби—Гамильтона. Преобразуем уравне

(2.3). Ограничиваясь в (2.1) двумя слагаемыми, при помощи (1.6) най­ дем р — плотность (в конфигурационном пространстве времен) вероят­ ности нахождения волн в точке х в моменты tj (/= 1 ,2 ,..., N) :

Ро=р/|Ф*°|2= |ф<о|2= е2в|.

(2.4)

Здесь Si — модуль вектора Sj. Обозначим через е0 и ei направляющие единичные векторы s0 и s f

 

e0= s0/s0;

e l = si/sl.

(2.5)

Из (2.4) и (2.5) вытекают равенства

 

 

dp

ds1

Qi = peL;

2pV*Si = V *ei-

- j ^ = 2 p - ^ - ; V*p = 2pV:cSi;

 

— p(.l —In po) Vxeb

(2.6)

2p- J r s,=^ ei_p(1_lnpo)^ r ei-

Подстановка (2.6) в (2.3) с учетом равенств [1] Ij= ds = p.jV^дает уравнение непрерывности с правой частью для вектора QI:

JV

N

 

V xp i+

V^j) = р (1 — In р°) ( v xe i+ ^

+

j=i

j=i

J

3. Свободная мощная импульс-поверхность. В качестве примера рас­ смотрим импульс-поверхность, наделенную волновыми свойствами, рас­ пространяющуюся в направлении е0 оси х без накачки Ut= 0 и обладаю­ щую положительной энергией (историей полной энергии) £*>>0 в точке х. По аналогии с гипотезой де Бройля в квантовой механике предполо­ жим, что свободному движению импульс-поверхности соответствует плоская волна с волновым числом k и частотой ю. Для волны длиной к, распространяющейся в однородной среде,

Ф<='чг<(ОехР ( - 1'£'^/^); E t= 2j!А~ •

(3.1)

Здесь *F*(f) — функция только t. Подставим (3.1) в (1.6). При однород­ ной накачке Ot = Ut (t)е°е° получим уравнение для 4яt(t):

d2y¥t(t)

---- ^ ! - + [ ( s i g n £ () r s-2|it/,/«,2] ,I,<(0=0;

 

P = 2(i|E,/ff<2,

(3.2)

где р — постоянная сопротивления движению волны. Для волны без на­ качки (3.2) дает решение для Ч'Д/):

Wt (t) = A exp (07)

+ В exp ( - iTt) ; В = 0.

(3.3)

Так как волна распространяется

в положительном направлении

х, то

£ = 0. Из (3.3) вытекает, что

2p|£f|,/ _

(3.4)

Пг

есть частота со. Из второго соотношения (3.1) следует формула для в< нового числа /г = 2лД:

k = E l/nl.

(3

В работе [1] получено, что

 

£ ; = /2/2щ

(3

где I — модуль потока заторможенности импульс-поверхности.

 

Из (3.5), (3.6) следует:

 

со = //«,.

(3

Формулы (3.5), (3.7) аналогичны формулам де Бройля в квантов механике (со = Е/й, k = p/ii). Из (3.4) и второго равенства (3.1) след} формула для сопротивления движению р, свободной плоской воли p,=#fA,co2/4jt.

При помощи (3.5) — (3.7) получаем формулу для фазовой скорое уфплоской волны иф= со/& = 2|л//. Но из [1] следует, что скорость v и пульс-поверхности (не наделенной волновыми свойствами, рассмат^ ваемой классически) равна v = \i/I. Отсюда уф= 2у.

Фазовая скорость распространения плоской волны в два раза болы скорости распространения свободной импульс-поверхности. В квантов механике фазовая скорость распространения плоской волны в два ра меньше скорости частицы, обладающей волновыми свойствами [2, с. 1 Поэтому длина волны будет иметь вид:

Х=4яу/со.

(3

Подстановка связи fit ей , (3.8) во второе равенство (3.1) дает связь i тории энергии E t с энергией Е = а>й, переносимой плоской волной:

E t = E с*

(3

2v

 

С другой стороны, история энергии одной импульс-поверхности совг дает с энергией, переносимой волной Et = E. При неквантовом рассш рении [1] это соотношение для одной импульс-поверхности удовлетво^ ется за счет выбора в качестве объема V* пространственной ячей характерного объема, занимаемого слоем одной импульс-поверхнос' Учитывая (3.9) и то, что E t= E, а иф= 2и, находим: с* = уф. Отсюда noj чается связь fit с постоянной й: 'Ht = vipfi.

Заметим, что квантовую импульс-поверхность, наделенную вол! выми свойствами, нельзя трактовать классически. Вероятность обна{ жить волну (3.1), (3.3) при £ = 0 не зависит от х и t. Свободные мощи импульс-поверхности с равной вероятностью могут быть обнаружены любом месте и в любое время.

4. Захват в виде ямы. Рассмотрим две волны, движущиеся вдоль с х. Пусть первая волна может захватывать вторую. Простейший вид хвата будем моделировать так. Имеется скачок истории энергии накач Ut, равный Uо (глубина ямы). Этот скачок можно испытать, если волны в точку х приходят с характерной задержкой по времени /0= соп Кроме того, волны отталкиваются при бесконечно малых задержк (XF< = 0 при t = 0, состояния отрицательной четности). В уравнении (1 примем для второй волны:

где t — время задержки второго импульса относительно первого; fo

максимальная задержка с захватом. В случае истории накачки (4.1) уравнение (3.2) для функции Ч^/) распадается на два уравнения:

d?¥t

1

[2p(f/0- e) ] ,/a; U0>e\

■ +ао2гРг = 0;

а0= —

 

 

(4.2)

d2x¥t

1

- ^ - P o 21F* = 0;

о; p<>=—

[2це]Ч e = -£<>().

Здесь рассматривается случай отрицательных историй энергий E t (для отдельной волны E t — энергия волны). В квантовой механике отрица­ тельные энергии появляются при описании связанных состояний частиц. Если история энергии волны Et отрицательна, то, значит, отрицательной является суммарная по времени энергия составляющих волн. Чтобы от­ личить связанное состояние частиц от волны с отрицательной историей энергии, в последнем случае будем говорить о связанном в среднем по времени состоянии волн. При конечном промежутке рассмотрения свя­ занных в среднем по времени состоянии волн следует положить ^ (о о ) = = 0. Решение (4.2), удовлетворяющее указанным граничным условиям, имеет вид [2]: =Л0 sin a Qt; t ^ t 0; '¥t = B0ехр( — р00 ; t ^ t 0.

Условия непрерывности Wt и^-Ч"* при t = t0приводят к трансцендент­

ному уравнению для возможных уровней истории энергии

E tn= — еп-

т]=—gctg£; £2 + Ti2 = 2pLVo2/#o2; 1= Ыо\ Л = Мо-

(4.3)

В [2] (см. рис. 8, с. 171) приводится графическое решение уравнения (4.3). При 2\iUoto2/tto2<in,2f4: на плоскости £, нет пересечения кривых, определяемых первым и вторым соотношениями (4.3). В этом случае нет связанных в среднем по времени состояний волн. При л2/4^2(х[/0^о2/^2,< < 9 л 2/4 имеется одно пересечение указанных кривых, связанное в сред­ нем по времени состояние с отрицательной историей энергии. Эта исто­ рия энергии (энергия) определяется по значению т^ь соответствующему пересечению указанных кривых, при помощи последних формул (4.2),

(4.3) так: Ец = fit2Л) Так как функция ctg£ периодическая, то для 2pi02

других разных уровней 2pLVo2/#t2 произведения интенсивности сопро­ тивления волны, глубины ямы, квадрата длительности ямы, определяю­ щего наличие связных состояний, будет два, или три, или четыре и т. д. пересечений кривых, определяемых первым и вторым соотношениями (4.3). Тогда волна может находиться в двух, или трех, или четырех и т. д. связанных в среднем по времени состояниях. Если координаты г) этих пересечений обозначить через т]п, то история энергии в этих состоя­

ниях будет равна:

 

£ '" “ — Й2ц/02т

(4'4)

Если вторая волна может догнать первую, то реализуются состояния

с положительной четностью. В этом случае можно принять ■^-Чг<= 0 при

/= 0. Тогда 'F* будут иметь вид:

Чгг=Л0 cos a 0t\ t^t\ ЧГ<= В0 exp ( — $0t) ; t ^ t 0,

а первое уравнение в (4.3) для уровней энергии будет заменяться таким:

4 = 6 ctg

(4.5)

Поэтому в (4.4) т|п будет иметь смысл координат т] пересечения крив! (4.5) с окружностью, задаваемой вторым равенством (4.3).

Если захватывающая волна является очень мощной (UQ^> |£*|), для бесконечно глубокой ямы UQ= OO и

 

лп

,

п = п М = 1,3,5,.

COS - г -

t

tо

п = п(-'> = 2, 4, 6,

E tn= —n?fit2n2l2\ito2] п =

 

лп

x¥t= 1/ -у-, sisin — t ;

* i foto

Ч)

Г л<+> | (_} ,

/l(-

где /г<+) — положительная четность; «Н — отрицательная.

Плотность вероятности обнаружения волны в разные моменты вр мени, отсчитываемые от стенок ямы, разная для разных времен. Напр мер, при п = 2 волна не может быть обнаружена в момент t = t0f2, соотве ствующий середине ямы, но одинаково часто бывает во времена, один ково отстоящие (ранние и поздние) от этого момента. В классическс представлении об импульс-поверхности ее пребывание в яме во време! равновероятно.

Заметим, что в слоистом композите процессы во внешней среде каждого слоя могут быть моделированы первой волной. Тогда проце отражения волны от границ очень тонкого слоя может быть изучен п добным образом. Динамика отражения в адгезионном слое также укл дывается в методику настоящего пункта.

5. Преодоление волнового барьера. Пусть история накачки имеет BI

баРьеРа:

, „ t<=t .

 

ад>-? St

В (5.1) t — время задержки прихода импульс-поверхности в л: по сра

нению с барьером; t0 — время задержки, когда барьер начинает действ вать на импульс-поверхность. В качестве барьера может быть неподвю ный слой компонента композита или ранняя широкая импульс-повер ность. В [1] при использовании волновых представлений для импуль поверхностей были получены детерминированные коэффициенты отраж ния и пропускания от границ компонентов композита. Из уравнений дв жения [1] импульс-поверхностей следует, что при накачке (5.1) для и] пульса с энергией E t> U 0 он пройдет сквозь барьер. При вхождении ш

пульса

в барьер (£~/0) скорость уменьшается, при выходе из

не:

(£ ~ 0)

— восстанавливается. Если E t<C.Uo, то по неквантовым уравн

ниям [1] импульс идеально отражается от барьера. Из уравнений

(3.2

(5.1) вытекает, что всегда имеется некоторая вероятность частичного о ражения от барьера и частичного прохождения через барьер.

Решения (3.2), (5.1) для 4х и

dWt

должны быть непрерывными п;

dt

переходе через значения ^ = 0 и t= t0. Пусть А, В, С являются соответс венно' амплитудами падающей, отраженной и прошедшей волн. Тог; коэффициенты отражения R и прохождения D определяются та

R = B2IA2; D = C2fA2; R + D = 1.

Учтем, что решения (3.2), (5.1) для плоских импульс-поверхност< получаются из решения уравнений квантовой механики в одномернс случае прохождения частицы через потенциальный барьер [2, с. 101] заменой ф(л:), х, Е , U(x), И, массы т, k соответственно на W t(t), t, L Ut{t), Ht, ц, со. При E t< .U Qполучается приближенное значение D:

to

Я = ехP ( ~

J {2v. [ U , ( i ) - E t] } U t ) .

(5.:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]