1178

(выражение (36) составлено из условий отсутствия скольжения слоев посредине длины балки). В общем случае величина М будет зависеть от жесткости компенсационного слоя и ее значение будет находиться между двумя граничными случаями — монолитной балки (G = oo) и двухслой­ ной балки без компенсационного слоя (G = 0).

Для сплошной (монолитной) балки выражения для прогибов и внут­

X (sin a]/2x — cos a]/2x).

Яис. 1. Распределение изгибающих моментов для монолитной I/И0Тп— pj^a \ и двухслой­

\PS4а/

Графики распределения изгибающих моментов и прогибов для двух рассмотренных случаев приведены на рисунках 1 и 2. Как и следовало

чаями, и поэтому можно представить изгибающий момент в виде:

Р1

М= -------- e_aPr (sin afix —cos офх),

4a р

где 1 ^ р ^ у 2 .

Подставив значение изгибающего момента в уравнение (2) и произ­

2. п/т = 1 (х = 4) — выражение под корнем равно нулю.

у = е~Ух(С, + С2ух),

где у = Ут;

Для нахождения коэффициента р воспользуемся дифференциальным

d2M .

уравнением = ky и удовлетворим его при х = 0. При этом для нахож­ дения р имеем выражения

—> 1 : Р=— (С2- К ) ;

тУо

Решение уравнений (5) производится графическим способом. Найдя ве­ личину р, определяем величину напряжений в крайних фибрах, восполь­ зовавшись выражением, приведенным в [1]:

М\ TTLi 1 ... , 0 .

° = W + m = -W {M > + n n i)’

(6)

где W — момент сопротивления балки; W{ — момент сопротивления слоя;

ставляющий собой момент, действующий в слое.

Графики, характеризующие изменение максимальных относительных прогибов (#тах/г/о = Р) и напряжений (атах/оо), приведены на рис. 3. Как видно из этого рисунка, изменение параметра %в широких пределах (при Х > 4 ) незначительно влияет на жесткость и напряженное состояние обо­ лочки.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Плешков П. Ф. Теория расчета деревянных составных стержней. Л., 1952. 194 с.

2.Короткий Я. И., Локшин А. 3., Сивере И. Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем. Л., 1953. 518 с.

Поступило в редакцию 23.08.79

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1980, № 2, с. 291_299

УДК 629.7:678.067.7

В. Л. Кулаков, Г Г Портнов

ЭФФЕКТИВНОСТЬ БАЛЛАСТА В МАХОВИКАХ ИЗ КОМПОЗИТОВ

1. Наиболее рациональной формой маховика из композита, с точки зрения удельной массовой энергоемкости, является тонкостенный сво­ бодно вращающийся обод [1]. Однако удельная объемная энергоемкость такого маховика очень мала, и для запасания достаточных количеств энергии необходимо значительное увеличение его диаметра или осевого размера, что порождает ряд чисто технических трудностей при его изго­ товлении.

Для повышения удельной объемной энергоемкости композитных ма­ ховиков нужно увеличивать их толщину в направлении радиуса. Как по­ казано в [2], наибольшей удельной объемной энергоемкостью обладает в большинстве случаев обод такой толщины, при которой происходит од­ новременное разрушение композита и от окружных, и от радиальных напряжений. Существенная разница в прочности современных компози­ тов на полимерных связующих на растяжение вдоль и поперек волокон приводит к тому, что максимально возможные целесообразные отноше­ ния радиусов ободов из этих материалов лежат в пределах 0,7—0,8. Дальнейшее повышение удельной объемной энергоемкости маховиков из композитов требует принятия дополнительных мер, повышающих сопро­ тивление растягивающим радиальным напряжениям. Повышение этого сопротивления за счет увеличения радиальной прочности приводит к уве­ личению допустимой толщины маховика и естественному выигрышу в энергоемкости [2]. Менее очевидны возможности других способов повы­ шения несущей способности маховиков в радиальном направлении, свя­ занные с созданием благоприятной эпюры дополнительных напряжений, суммирующихся с напряжениями от центробежных сил в ободе. К таким способам относится использование балластного материала. Под баллас­ том понимается материал с низким окружным модулем пли вообще не обладающий жесткостью на растяжение, равномерно размещенный по внутренней поверхности обода и оказывающий на нее при вращении дав­ ление. В качестве балласта могут служить низкомодульные материалы, в маховиках соответствующих конструкций — металлические сегменты, сыпучие материалы (дробь, песок), жидкость и т. д. Необходимо отме­ тить, что применение балласта существенно облегчает балансирование маховика.

При использовании балласта одновременно с благоприятными по от­ ношению к напряжениям от центробежных сил сжимающими радиаль­ ными напряжениями в ободе создаются и неблагоприятные растягиваю­ щие окружные напряжения. Вследствие этого в зависимости от размеров балласта принципиально возможно как повышение энергоемкости обода маховика (из-за повышения несущей способности по радиальным напря­ жениям), так и ее понижение (из-за падения несущей способности по окружным напряжениям). Естественно, что при оценке эффективности балласта нужно учитывать, помимо изменения энергоемкости обода, и

энергоемкость собственно балласта.

Идея использования балласта для повышения энергоемкости махови­ ков является достаточно очевидной и высказывалась неоднократно (см., например, [1, 3, 4]). Однако все работы были посвящены исследованию

Величина оптимального давления р0пт находится из условия одно­ временности разрушения по аг и а0 в ободе, выражаемого через макси­ мальную сумму безразмерных напряжений следующим образом:

При определении р0пт ограничимся рассмотрением четырех компози­ тов на основе стекло-, угле-, боро- и органоволокон и эпоксидного свя­ зующего. В дальнейшем используются следующие характеристики энер­ гоемкости маховика: Икотах, Дж — максимальная энергоемкость обода,

W\p щах (3 + Vr0^^)

— приведенная удельная энергоемкость обода

Пг+(1)яо2 единичной ширины, нагруженного оптимальным давлением (безразмер­

ная и массовая энергоемкости маховика (обода и балласта) оптималь­ ных размеров.

Необходимые для расчета механические характеристики этих материалов (из [7]), значения т * ь обеспечивающие максимальную удель­ ную объемную энергоемкость диска без балласта WVy) и соответствую­ щие размерам т*\ значения удельной массовой энергоемкости l^10(m), при­ ведены в табл. 1. На рис. 1 представлены зависимости оптимального при­ веденного давления, обеспечивающего максимальную энергоемкость несущего обода при m\<im*\, от величины относительного размера несу­ щего диска для выбранных материалов. Видно, что в диапазоне 0,6<С <trii<im* 1 увеличение анизотропии прочности По+^/Пг"^ вызывает увеличение давления р0пт, необходимого для одновременного разрушения обода от окружных и радиальных напряжений. Зная величину р0пт, можно вычислить приведенную удельную объемную энергоемкость обода размером mi<Cm*i(TPip(v>) в момент одновременного исчерпания его ма­ териалом окружной и радиальной прочностей:

(1 - m f )

На рис. 2 показано изменение W\р^ для выбранных композитов в за­ висимости от относительного размера т\ при давлении балласта ропт (сплошные линии) и без использования балласта р = 0 (штрихпунктирные кривые). Правые ординаты кривых соответствуют максимальным удель­ ным объемным энергоемкостям ободов без дополнительного давления, т. е. WVV); по отношению к этим величинам и оценивается эффектив­ ность использования балласта. Как видно, при любом т \ < т * примене­ ние балласта позволяет повысить энергоемкость несущего обода задан­ ных размеров. Максимальная энергоемкость несущего диска при опти­ мальном давлении (max W w^) наблюдается при mi*<m*i. Однако она значительно превосходит величину Wio(F) лишь у органопластика — наи­ более анизотропного и в отношении прочностных, и в отношении деформативных свойств материала.

3. Рассмотрим вопросы, связанные с реализацией давления на внут­ реннюю поверхность несущего обода маховика при помощи «чистого» балласта в виде не связанного с валом кольца. Наружный радиус его с равен внутреннему радиусу обода, а внутренний а — внутреннему ра­ диусу маховика; таким образом, относительный размер балласта-кольца т2= а/с = т/ти где т = а/Ь — относительный размер маховика, т\ — несущего обода. В случае, когда окружным модулем балласта можно пренебречь по сравнению с модулем обода EQW ^ E QW, приведенное дав­ ление, создаваемое балластом, выражается следующим образом:

где np = pv(2)/pv(1) — отношение плотностей материалов балласта и обода. Таким образом, максимально возможное давление на обод с задан­ ным внутренним радиусом с можно получить, используя балласт макси­ мальной плотности и полагая общий размер маховика т = ттщ; значение mmm в работе принято равным 0,1 — этому соответствует кривая а — Ь на рис. 3. Таким образом, при заданном гп\ можно, изменяя т, реализовать любое давление в пределах ординаты кривой а — Ь, соответствующей пц.

Рис. 1. Оптимальные приведенные давления р0Пт, обеспечивающие максимальную энер­ гоемкость ободов с т \<т *х из четырех композитов: 1 — стеклопластик; 2 — углеплас­ тик; 3 — боропластик; 4 — органопластик.

Если минимальный размер маховика т больше 0,1, то вместо а — Ь сле­ дует рассматривать ту из кривых а' — Ь', а" — Ь" и т. д., которая соответ­ ствует этому размеру.

Поскольку угловые скорости вращения несущего обода и балластного кольца равны, то

Если несущий обод разрушается одновременно от окружных и радиаль­ ных напряжений, то о)п,ах= (Ошахг = о)шах0 и максимальная энергоемкость балласта, приведенная к объему маховика с учетом (2) и (3), вычисля­ ется по формуле

Необходимо иметь в виду, что размер балластного диска т 2, исполь­ зуемый в формуле (4), должен соответствовать величине давления ропт (см. рис. 1), обеспечивающей W (т,\) (см. рис. 2). Формула (4) справедлива и тогда, когда возможности запасания кинетической энер­ гии определяются в отдельности или максимальными радиальными, или максимальными окружными напряжениями, т. е. если рфрот- В этих случаях надо только подставлять в формулу (4) вместо WiP(y) соответ-

_ _ Пц-НЧ ственно и?1РГ(У)либо l^ipe(V)n луг-

1 if

Для сужения области поиска сочетания относительных размеров бал­ ласта заданной плотности и несущего обода с заданными свойствами, обеспечивающего максимальную энергоемкость маховика в целом, обра­ тимся к рассмотрению рис. 3. Нанесем на него кривую p0m{tn\) (из рис. 1) — d — e и отметим относительный размер т**ь соответствующий максимальной энергоемкости несущего обода (из рис. 2). При этом возможны два случая — т**\ может расположиться справа от точки с пересечения кривых а — Ь и d — е(т**щ)) и слева от этой точки (m**i(2)). Элементарные рассуждения приводят к выводу, что в первом случае оптимальное соотношение размеров т и /?гь т. е. сочетания ni\ и р, сле­ дует искать в области, располагающейся внутри Ь — с — е\ во втором слу­ чае — кроме области b —c —е и на участке f — c. Был рассмотрен диапа­ зон лр= Ю-^0,25, охватывающий практически все материалы, которые могут быть использованы в качестве балласта. Оказалось, что по край­ ней мере для рассмотренных композитов всегда реализуется первый слу­ чай взаимного расположения характерных точек на рис. 3. Проведенные расчеты показали также, что максимальная энергоемкость маховика с балластом при любом из рассмотренных балластов достигается, если в несущем ободе обеспечивается одновременность разрушения от окруж­ ных и радиальных напряжений, т. е. в точках, соответствующих кривой с—е. Создание давления р{т\) >» (р0пт{м\) приводит к существенной по­ тере энергоемкости несущего диска, которую не удается компенсировать

увеличением массы балласта.

Таким образом, при нахождении оптимальных размеров балластов прежде всего необходимо построить зависимость р0пт(^1)- После нанесе­ ния на этот график кривой предельного давления для каждого из бал­ ластов оптимальное сочетание размеров обода и балласта следует искать