Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015
.pdf
Задача 1.26. Определить максимальную скорость фотоэлектро- нов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лу- чами с длиной волны 0,155 мкм; 2) γ-лучами с длиной волны 1 пм.
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
1. Согласно уравнению Эйн- |
||||||
λ1 |
= 0,155 мкм |
|
0,155 10-6м |
|
||||
λ2 |
= 1 пм |
|
1,0 10-12м |
|
штейна для внешнего фотоэффекта |
|||
υ1 = ? υ2 = ? |
|
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
|
λ = A + Eк , |
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны; А – работа выхода электрона из металла; Ек – максимальная кинетическая энергия электрона, которая может быть выражена по классической формуле
E = |
mυ2 |
(2) |
|
||
2 |
|
|
или по релятивистской формуле
|
|
1 |
|
|
|
E = E |
|
−1 |
(3) |
||
|
|||||
1− (υ2 / с2 ) |
|||||
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
взависимости от того, какая скорость сообщается электрону.
2.Скорость электрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект:
ε = |
hc |
. |
(4) |
|
|||
|
λ |
|
|
Если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е0 электро- на, то может быть применена формула (2), если же ε сравнима по величине с Е0, то вычисление по формуле (2) приводит к ошибке, во избежание которой необходимо кинетическую энергию фото- электрона выражать по формуле (3).
3. Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по фор- муле (4):
ε1 = 6,62 10−34 3 108 = 1, 28 10−18 Дж = 8 эВ. 0,155 10−6
4. Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии по- коя электрона Е0 = 0,511 МэВ. Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (2):
51
ε = A + |
m υ2 |
|
|
||||
|
0 |
max |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
υmax = 2 |
(ε1 |
− A) |
. |
(5) |
|||
m0 |
|||||||
|
|
|
|
||||
5. Выпишем числовые значения величин А и m0 из справочных данных, предварительно выразив в единицах СИ: А = 4,7 эВ = = 4,7 1,6 10-19 Дж = 0,75 10-18 Дж, m0 = 9,11 10-31кг, и подставим их в формулу (5):
|
|
|
2 1, 28 10−18 |
− 0,75 10−18 |
) |
|
|
||
υ = |
|
|
|
|
( |
|
= 1, 08 106 |
м с |
|
|
|
|
|
9,11 10−31 |
|
||||
max |
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Вычислим энергию фотона γ-лучей: |
|
|
|
||||||
|
ε |
|
|
= |
6, 62 10−34 |
3 108 |
|
|
|
|
2 |
10−12 |
= 1,99 10−13 Дж |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
2 |
= |
1,99 10−13 = 1, 24 106 эВ = 1, 24 МэВ. |
|
|||||
|
|
|
1,6 10−19 |
|
|
|
|
||
7. Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) так мала по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), что ею можно пренебречь и принять:
Eк = ε2 = 1,24 МэВ.
8. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше энергии покоя (Е0 = 0,511 МэВ), то для вычисления скоро- сти электрона следует взять релятивистскую формулу кинетиче- ской энергии:
|
|
1 |
|
|
|
Ек = E0 |
|
|
−1 |
, |
|
|
|
||||
|
2 |
||||
|
|
1− β |
|
|
|
|
|
|
|
|
где β = υ . c
9. Выполнив преобразования, найдем
β = |
(2Е0 + Ек ) Ек |
, |
|
||
|
Е0 + Ек |
|
52
υ = βc = c (2E0 + Eк )Ек . |
||
max |
E0 |
+ Eк |
|
||
10. Поскольку Е0 и ε2 входят в формулу в виде отношения, то их не обязательно выражать в единицах СИ. Проведем вычисления:
υ = 3 108 |
(2 0,511 + 1, 24) 1, 24 |
= 2,85 108 м/с |
|
|
|||
max |
0,511 |
+ 1, 24 |
|
|
|
||
Ответ: υ1 = 1,08∙106 м/с; υ2 = 2,85∙108 м/с.
Задача 1.27. На зеркальную поверхность нормально падает мо- нохроматический свет с длиной волны 0,55 мкм, производя давле- ние 9 мкПа. Определить концентрацию фотонов вблизи поверхно- сти и число фотонов, падающих на площадь 1 м2 в 1 с.
Дано: |
СИ |
Решение. |
|
||
λ1 = 0,55 мкм |
0,55 10-6м |
1. Давление света при нормаль- |
|||
р = 9 мкПа |
9,0 10-6 Па |
ном падении на поверхность опре- |
|||
S =1 м2 |
|
деляется по формуле |
|
||
t = 1 с |
|
р = |
Ee |
(1+ ρ) = ω(1+ ρ) , |
(1) |
n0 = ? N = ? |
|
||||
|
|
||||
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
||
где Ее – энергетическая освещенность поверхности, т.е. энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу вре- мени; с – скорость света в вакууме; ω – объемная плотность энер- гии излучения; ρ – коэффициент отражения поверхности, который
вданном случае равен 1.
2.Объемная плотность энергии равна произведению энергии одного фотона на число фотонов в единице объема:
ω = hνn |
= |
hc |
n |
, |
(2) |
||||
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
λ |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где h – постоянная Планка. Подставляя (2) в (1), получим: |
|
||||||||
р = n |
hc |
|
(1+ ρ) , |
|
(3) |
||||
λ |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
n0 = |
|
рλ |
. |
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
hc(1+ ρ) |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
3. Подставим в (4) числовые значения и проведем вычисления:
53
n |
= |
9 |
10−6 0,55 10−6 |
=1, 25 1013 |
м−3 |
|
6,62 |
10−34 3 108 (1 +1) |
|||||
0 |
|
|
|
4. Энергетическая освещенность поверхности Ее есть по опреде- лению энергия всех фотонов, которые падают на единицу поверх- ности в единицу времени. Следовательно:
E |
= |
hc |
N , |
N = |
Eλ |
. |
|
|
|||||
e |
|
λ |
|
hc |
||
5. Выразив Ее из (1) и подставив в (5), получим:
N = |
рcλ |
= |
рλ |
. |
(1+ ρ) |
|
|||
|
|
h(1+ ρ) |
||
6. Сравнивая (6) и (4), получаем
N = п0с.
Подставляем числовые значения в полученную формулу:
N =1,25 1013 3 108 = 3,75 1021 м−2 с−1
(5)
(6)
Ответ: n =1,25 1013 |
м−3 |
, N = 3,75 1021 м−2 с−1 . |
0 |
|
|
Задача 1.28. Рентгеновский фотон с частотой 7,5·1018Гц испытывает рассеяние на 90о на свободном электроне. Определите частоту фотона после столкновения, импульс и энергию электрона
отдачи (рис. 1.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1. Длина волны фотона при рас- |
|||||||
θ = 90о; |
|
|
|
||||||
с = 3·108м/с; |
|
|
|
сеивании его на электроне увели- |
|||||
m = 9,1·10-31кг |
|
|
|
чится на ∆λ: |
∆λ = λʹ – λ = |
|
|||
ν = 7,5·1018 Гц |
|
|
|
|
|
|
|||
ν1 = ? р = ? Е = ? |
|
|
|
= |
h |
|
(1−cosθ) = |
h |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
mc |
mc |
|
||
= |
6,62 10−34 |
|
|
= 0, 24 10−11 м. |
|||||||
9,1 10 |
−31 |
3 |
|
8 |
|
||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|||||
2.Так как ∆λ = |
с |
− |
с |
, то |
|||||||
ν |
ν |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
ν = |
|
сν |
|
= |
|||||
|
|
с + νΔλ |
|||||||||
Рис.1.10 |
|
1 |
|
|
|||||||
54
|
|
|
3 |
108 7,5 1018 |
|
18 |
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 4,7 10 |
Гц. |
3 |
8 |
+ |
18 |
0,24 |
10 |
−11 |
|||
|
10 |
7,5 10 |
|
|
|
||||
3. Применим закон сохранения импульса и найдем импульс электрона отдачи ( р = mυ) :
→ |
|
→ |
|
hν |
= |
hν1 |
+ mυ. |
|
|
||
cc
4.Из рис. 1.10 следует, что р2 = hν 2 + hν1 2 . Тогда
c c
|
|
|
|
|
р = |
h |
ν2 + ν2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
6,62 10−34 |
(7,5 1018 )2 +(4,7 1018 )2 |
= 2,0 10−23 (кг×м)/с. |
||||||
3 108 |
|||||||||
|
Е = |
|
p2 |
= |
(2,0 10−23 )2 |
= 0, 22 10−15 Дж. |
|||
|
|
2m |
2 9,1 10−31 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: ν1 = 4,7 Гц, р = 2,0·10-23кг·м/с, Е = 0,22·10-15Дж.
Задача 1.29. Найти радиус r1 первой боровской электронной орбиты, скорость v1 электрона, выражение для нахождения кинетической энергии электрона на k-й орбите и значение кинетической энергии на первой орбите (в эВ).
Дано: |
|
СИ |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1. На электрон, движущийся в ато- |
|||||
k = 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
ме водорода по k-й орбите, действует |
||||
e =1,6 1019 Кл |
|
|
|
||||
|
|
|
|
сила Кулона |
|
|
|
r1 = ? V1 = ? E1 |
= ? |
|
e2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F = |
(1) |
||
E1- ? |
|
|
|
4πεr2 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k
где е – заряд электрона, е = 1,6 1019 Кл.
2. Сила F является центростремительной и сообщает электрону ускорение
a = |
υk2 |
, |
(2) |
|
rk |
||||
|
|
|
где υk – скорость электрона на k-й орбите.
55
3. По второму закону Ньютона F = ma из (1) и (2) получим
υk2 |
, = |
e2 |
|
|
|
|
r |
4πε r2 |
, |
(3) |
|||
|
||||||
k |
|
0 |
k |
|||
4. Выразим из (3) радиус k-й орбиты:
rk = |
e2 |
|
|
(4) |
4πε υ2 |
||||
|
0 |
k . |
|
|
5. Согласно первому постулату Бора, электроны движутся во- круг ядра по орбитам, радиусы которых удовлетворяют условиям
mυ r = k |
h |
, |
(5) |
|
2π |
||||
k k |
|
|
||
|
|
|
где k – порядковый номер орбиты, k = 1, 2, 3 и т. д. 6. Решая совместно уравнения (5) и (4), найдем:
|
= |
e2 |
|
|
υk |
|
, |
(6) |
|
|
||||
|
|
2ε0 kh |
|
|
|
= |
ε0k 2h2 |
|
|
rk |
πme2 . |
(7) |
||
7. Кинетическая энергия электрона на k-й орбите
|
Ek = |
mυ2 |
|
|
(8) |
|
|
k |
|
|
|||
|
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
С учетом (6) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 2 |
|
||
Ek |
= m |
|
|
|
. |
(9) |
|
|
|
||||
|
|
2ε0kh |
|
|||
8. Подставим числовые значения в (6), (7), (8) в системе СИ c
учетом того, что k =1: |
|
|
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1,6 10−19 |
|
2 |
|
|
||
υ = |
|
|
|
|
|
= 2,18 106 м/с, |
|||||
|
2 8,85 10−12 1 6,63 10−34 |
||||||||||
1 |
|
|
|
||||||||
r = |
8,85 10−12 12 (6,63 10−34 )2 |
= 5,29 10−11м, |
|||||||||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
||||
1 |
|
10−19 |
2 9,1 10−31 3,14 |
|
|||||||
|
1,6 |
|
|
||||||||
Е = |
9,1 10−31 (2,18 106 )2 |
= 21,78 10−19 Дж =13,6 эВ. |
|||||||||
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
Ответ: V1 = 2,18 106м/c, r1 = 5,29 10-11м, Ek |
|
e2 2 |
||
= m |
|
|
, |
|
|
||||
|
|
2ε0kh |
|
|
E1 = 13,6 эВ.
1.3.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.1.Определите период Т, частоту ν и начальную фазу ϕ0 коле- баний, заданных уравнением x = Asinω(t + τ) , где ω = 2,5π с-1, τ =
=0,4 с. Определите максимальные значения скорости и ускорения, если амплитуда А = 5 см.
1.2.Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки хmax = 12 см, наибольшая скорость υmax = 20 см/с.
Найдите циклическую частоту ω колебаний и максимальное уско- рение точки а max.
1.3.За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания, пройдет путь, равный: 1) половине амплитуды, если в начальный момент времени она находилась в положении равнове- сия; 2) одной четверти амплитуды, если в начальный момент вре- мени она находилась в крайнем положении?
1.4.Найдите максимальную кинетическую энергию Tmax матери- альной точки массой m = 3,5 г, совершающей гармонические коле-
бания с амплитудой A = 5 см и частотой ν = 3 Гц.
1.5. Найдите возвращающую силу F в момент t = 1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей гармонические ко- лебания по закону х = A cos ωt, где A = 15 см, ω = 2π/3 c-1. Масса материальной точки т = 12 г.
1.6.Конденсатор электроемкостью С = 300 нФ соединен парал- лельно с катушкой длиной l = 40 см и площадью сечения S = 7 cм2. Катушка содержит N = 1000 витков. Сердечник немагнитный. Найдите период колебаний.
1.7.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С= 5 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,5 Гн. Определите мак- симальную силу тока в контуре и максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку, если максимальная разность потенциала
на обкладках конденсатора Umax = 100 В. Сопротивлением контура R пренебречь.
57
1.8.Колебательный контур состоящий из катушки индуктивно- сти и конденсатора емкостью С = 400 пФ, имеет период колебаний 0,7 мкс. Найдите энергию колебательного контура, если макси- мальная сила тока в контуре равна 0,2 А.
1.9.Материальная точка совершает гармонические колебания с
частотой ν = 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А = 10 см. Определите скорость точки в момент времени, когда смещение х = 6 см.
1.10.Колебательный контур состоит из катушки с индуктивно-
стью 5 мГн и плоского конденсатора. Расстояние между обкладка- ми конденсатора 5 мм, площадь обкладок 2 см2, диэлектрик – слю- да. Как изменится период колебаний в контуре, если в качестве ди- электрика взять эбонит?
1.11.Шарик массы m = 30 г подвешен на пружине жесткостью k = 65 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая тре- нием и массой пружины найдите период Т и амплитуду A возник- ших колебаний.
1.12.На стержне длиной l = 40 см укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его кон- цов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определите период Т гармонических колебаний. Массой стержня пренебречь.
1.13.Определите период колебаний математического маятника,
если его модуль максимального перемещения r = 12 см и макси- мальная скорость υmax = 14 см/с.
1.14.Определите период простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов диска.
1.15.Физический маятник представляет собой тонкий однород- ный стержень длиной 20 см. Определите, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной?
1.16.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-
кулярных колебаниях, уравнения которых x = A1sinω1t и y = = A2cosω2t, где A1 = 5 см, A2 = 3 см, ω1 = ω2 = 1,5 c-1. Напишите урав- нение траектории точки и построить график ее движения.
58
1.17. Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x = A1sinω1t и x2 = A2 sin ω2 (t + τ) , где А1 =
= А2 = 3,5 см, ω1 = ω2 = π с-1, τ = 1,0 с. Определите амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания.
1.18. Разность фаз двух одинаково направленных гармониче- ских колебаний одинакового периода, равного 8 с, и одинаковой амплитуды 2 см составляет π/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.
1.19. Складываются два гармонических колебания одного на- правления с одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1,5 с и амплитудами А1 = А2 = 4,0 см. Начальные фазы колебаний φ1 = π/2 и φ2 = π/4. Определите амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего колебания. Найдите его уравнение.
1.20. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами А1 = 10 см и А2 = 4,0 см складыва- ются в одно колебание с амплитудой А = 12см. Найдите разность фаз Δϕ складываемых колебаний.
1.21.Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1 =
=5 мин уменьшилась в три раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в семь раз?
1.22.Амплитуда колебаний маятника длиной 0,5 м за время 10 мин уменьшилась в два раза. Определите логарифмический де-
кремент колебаний θ.
1.23.Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 1 мин тело потеряло 65 % своей энергии. Определите коэффициент сопротивления r.
1.24.Найдите число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в n = 3 раза. Логарифмиче-
ский декремент колебаний θ = 0,01.
1.25.За время, за которое система совершает N= 100 полных ко- лебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определите доброт- ность системы.
1.26.Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 25 мГн, конденсатор емкостью С = 40 мкФ и резистор сопро- тивлением R = 1 Ом. Максимальный заряд на обкладках конденса-
59
тора qmax = 1 мКл. Определите период колебаний контура, лога- рифмический декремент затухания колебаний, уравнение зависи- мости изменения напряжения на обкладках конденсатора от време- ни.
1.27.Колебательный контур имеет емкость С = 1,5 нФ и индук- тивность L = 15 мГн. Логарифмический декремент затухания равен 0,007. За какое время вследствие затухания потеряется 99 % энер- гии контура?
1.28.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С= 10 мкФ и катушки с индуктивностью L = 0,15 Гн и сопротив-
лением R = 30 Ом. Обкладки конденсатора имеют заряд q = = 0,5 мКл. Найдите период Т колебаний контура и логарифмиче- ский декремент затухания колебаний. Найдите разность потенциа- лов в моменты времени, равные Т/2, 3Т/2 и 2Т.
1.29.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С= 0,5 мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,5 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания колебаний разность по- тенциалов на обкладках конденсатора за время t = 1 мс уменьшит- ся в три раза? Какое при этом сопротивление контура?
1.30.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью
С= 2,5 нФ и катушки длиной l = 25 см из медной проволоки диа- метром d = 0,6 мм. Найдите логарифмический декремент затуха- ния колебаний.
1.31.Колебательная система совершает колебания с частотой 1000 Гц. Определите частоту собственных колебаний, если резо- нансная частота 996 Гц.
1.32.Период собственных колебаний Т0 пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав- ным 0,56 с. Определите резонансную частоту колебаний.
1.33.Пружинный маятник совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,03 кг/с. Опре- делите коэффициент затухания и резонансную амплитуду, если ам- плитудное значение вынуждающей силы Fmax = 10 мН.
1.34.Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэф- фициентом сопротивления r = 1,5 г/с. Считая затухания малым, определите амплитудное значение вынуждающей силы, если резо-
нансная амплитуда Арез = 1,85 см и частота собственных колеба- ний ν0 = 12 Гц.
60