Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015

2.97.Рассматривая математический маятник массой m =150 г и длиной l = 1,5 м в виде гармонического осциллятора, определите классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника.

2.98.Выведите формулу для средней энергии <ε> классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии.

Вычислите значение <ε> при температуре Т = 300 К.

2.99. Определите среднюю энергию <ε> линейного одномерного квантового осциллятора при температуре Т = 200 К.

2.100. Во сколько раз изменится средняя энергия <ε> квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повы- шении температуры от Т1 = 100 К до Т2 = 200 К? Учтите нулевую энергию.

2.101. Заполненный электронный слой характеризуется главным квантовым числом n = 3. Укажите число электронов N в этом слое, которые имеют одинаковые квантовые числа: 1) ms = +1/2; 2) m = = –2; 3) ms = –1/2, m = 0; 4) ms = +1/2, l = 2.

2.102. Найдите число электронов N в атомах, у которых в основ- ном состоянии заполнены: 1) K- и L-слои, 3s-оболочка и наполови- ну 3р-оболочка; 2) K-, L- и М-слои и 4s-, 4р- и 4d-оболочки. Что это за атомы?

2.103. Используя принцип Паули, укажите, какое максимальное число Nmax электронов в атоме могут иметь следующие одинаковые квантовые числа: 1) n, l, m, ms; 2) n, l, m; 3) n; 4) n.

2.104. Как известно, уравнению Шредингера, описывающему атом водорода, удовлетворяют собственные функции Ψnlml (r,θ,ϕ) ,

определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбиталь- ным l и магнитным ml. Объясните физический смысл указанных квантовых чисел и запишите их возможные значения.

2.105. Атом водорода, находящийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией ε =10,2 эВ. Определите изменение момента импульса орбитального движения электрона. В возбужденном атоме электрон находится в р- состоянии.

2.106. Момент импульса Ll орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,83 10-32 Дж с. Определите магнитный мо- мент µl, обусловленный орбитальным движением электрона.

121

2.107. Вычислите полную энергию Е, орбитальный момент им- пульса Ll и магнитный момент µl электрона, находящегося в 2р- состоянии в атоме водорода.

2.108. Вычислите орбитальный момент импульса Ll электрона, находящегося в атоме: 1) в 1s-состоянии; 2) в 2р-состоянии.

2.109. Определите возможные значения магнитного момента µl, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужден- ном атоме водорода, если энергия ε возбуждения равна 12,09 эВ?

2.110. Вычислите спиновый момент импульса Ls электрона и проекцию этого момента на направление внешнего магнитного поля.

2.111. Вычислите спиновый магнитный момент µs электрона и проекцию этого момента на направление внешнего поля.

2.112. Атомы серебра, обладающие скоростью V = 0,6 км/с, про- пускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l = 6 см пучок расщепляется на два (рис 2.5). Определите степень неоднородности ∂B∂z магнит-

ного поля, при которой расстояние b между компонентами расщеп- ленного пучка при его выходе из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.

2.113. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неодно- родного магнитного поля ( ∂B∂z = 1 кТл/м) протяженностью l1 =

2.114. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (см. рис. 2.5). Какова должна быть степень неоднородности ∂B∂z магнитного поля, чтобы рас-

122

стояние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Принять l1 = l2 = 10 см. Скорость атомов цезия равна V = 0,3 км/с.

2.115. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычис- лите: 1) вероятность w1 того, что электрон находится внутри обла- сти, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а;

2)вероятность w2 того, что электрон находится вне этой области;

3)отношение w1 / w2 . Нормированная волновая функция имеет вид

ственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид Ψ(r) = C exp(−r / a) , где С – некоторая постоян-

ная, а – первый боровский радиус. Найдите из условия нормировки постоянную С. Определите вероятность пребывания электрона в сферическом слое толщиной r = 0,01а.

2.117. Волновая функция, описывающая 2s-состояние электро-

где ρ – расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных еди- ницах. Определите: 1) расстояния ρ1 от ядра, на которых вероят- ность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния ρ2 от ядра, на которых вероятность обнаружить электрон равна нулю.

2.118. Нормированная волновая функция, описывающая ос- новное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

кулоновской силы, действующей на электрон.

2.119. Электрон в атоме водорода описывается в основном со- стоянии волновой функцией Ψ(r) = C exp(−r / a) . Определите от-

ношение вероятностей w1 / w2 пребывания электрона в сфериче-

ских слоях толщиной r = 0,01а и радиусами r1 = 0,5а и r2 =1,5а. 2.120. Нормированная волновая функция, описывающая 1s-

состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

123

Определите среднюю потенциальную энергию электрона в поле ядра.

2.121. Покажите, что при очень малом параметре вырождения распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака переходят в рас- пределение Максвелла–Больцмана.

2.122. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы- ведите формулу наиболее вероятной скорости Vв.

2.123. Какова вероятность W того, что данная молекула идеаль- ного газа имеет скорость, отличную от половины наиболее вероят-

2.124. Определите долю w молекул идеального газа, энергия ко- торых заключена в пределах от ε1 = 0 до ε2 = 0,1kT?

2.125. Зная функцию распределения молекул по скоростям в не-

чины обратной скорости <1/ υ >.

2.126. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10-17 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении вы- соты на h = 5 м? Температура воздуха 300 К.

2.127. Одинаковые частицы массой m = 10-13 г каждая распре- делены в однородном гравитационном поле напряженностью g = = 0,5 мкН/кг. Определите отношение n1/n2 концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от

= 100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h = 150 м? Считайте, что температура воздуха Т = 280 К и не изменяется с высотой.

2.129. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m = 10-18 г. Определите толщину слоя воздуха, в пределах которого концен- трация пыли неизменна с точностью до 10 %. Температура посто- янна и равна 300 К.

124

2.130. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление в полтора раза меньше, чем на ее поверхности? Считайте, что температура воздуха везде одинаковая, равна 295 К и не изме- няется с высотой.

2.131. Определите концентрацию свободных электронов n в ме- талле при температуре 0 К. Энергию Ферми εF = 1 эВ.

2.132. Определите число свободных электронов, которое прихо- дится на один атом натрия при температуре Т = 0 К. Уровень Фер- ми εF для натрия равен 3,12 эВ. Плотность натрия 970 кг/м3.

2.133. Вычислите среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми εF = 7 эВ.

2.134. Определите вероятность того, что электрон в металле займет энергетическое состояние, находящееся в интервале Δε =

=0,02 эВ ниже и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) Т1 =

=300 К; 2) Т2 = 50 К.

2.135. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определите, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от εF/2 до εF больше числа электронов с энергией от 0 до εF/2.

2.136. Зная распределение dn(ε) электронов в металле по энер- гиям, установить распределение электронов по импульсам. Найди- те частный случай при температуре Т = 0 К.

2.137. Определите максимальную скорость электронов в метал- ле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми εF = 7 эВ.

2.138. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определите, во сколько раз число электронов со скоростями от Vmax/2 до Vmax больше числа электронов со скоростями от 0 до Vmax/2.

2.139. Зная распределение dn(V) электронов в металле по скоро- стям, выразить <1/V> через максимальную скорость Vmax электро- нов в металле. Металл находится при температуре Т = 0 К.

2.140. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найдите относительное число N/N свободных электронов, кине- тическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 3 %.

2.141. Хлор представляет собой смесь двух изотопов с относи- тельными атомными массами Аr1 = 34,969 и Аr2 = 36, 966. Вычисли- те относительную атомную массу Аr хлора, если массовые доли w1

125

и w2 первого и второго изотопов соответственно равны 0,754 и 0,246.

2.142. Бор представляет собой смесь двух изотопов с относи- тельными атомными массами Аr1 = 10,013 и Аr2 = 11,009. Вычислите массовые доли w1 и w2 первого и второго изотопов в естественном боре. Относительная атомная масса Аr бора равна 10,811.

2.143. Какую часть массы нейтрального атома плутония состав- ляет масса его электронной оболочки?

2.144. Ядро изотопа кобальта 2760 Со выбросило отрицательно за- ряженную β-частицу. В какое ядро превратилось ядро кобальта?

2.145. В какое ядро превратилось ядро изотопа фосфора 3015 Р ,

выбросив положительно заряженную β-частицу?

2.146. Найдите период полураспада T1/2 радиоактивного изотопа, если его активность за время t = 10 сут уменьшилась на 24 % по сравнению с первоначальной.

2.147. Определите постоянную распада и число атомов радона, распавшихся в течение суток, если первоначальная масса радона

10 г. Период полураспада 22286 Rn равен 3,82 сут.

2.148. За год распалось 60 % некоторого исходного радиоактив- ного элемента. Определите период полураспада этого элемента.

2.149. Счетчик α-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом измерении зарегистрировал N1 = 1400 частиц в минуту, а через время t = 4 ч зарегистрировал N2 = 400 частиц в минуту. Определите период полураспада T1/2 изотопа.

2.150. Определите число N ядер в радиоактивном изотопе фос- фора 3215 P массой m = 3 мг, распадающихся в течение времени:

1) t1 = 5 мин; 2) t2 = 3 сут.

2.151. Период полураспада радиоактивного аргона 1841 Ar равен

110 мин. Определите время, в течение которого распадается 25 % начального количества атомов.

2.152. Радиоактивный изотоп имеет постоянную распада λ = = 4 107 с-1. Через какое время распадутся две трети первоначально- го количеств ядер?

2.153. Радиоактивный изотоп имеет постоянную распада λ = = 8 107 с-1. Через какое время останется не распавшейся четверть первоначального количества ядер?

126

2.154. Какая часть начального количества атомов распадается за один год в радиоактивном изотопе тория 229 Th.

2.155. Какая часть начального количества атомов радиоактивно- го актиния 225 Ас останется через: 1) 10 суток; 2) 15 суток?

2.156. Активность A некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на 20 %. Определите период полураспада T1/2 этого изотопа.

2.157. Определите массу m изотопа йода 13153 I , имеющего ак-

тивность A = 37 ГБк.

2.158. Определите интенсивность I гамма-излучения на расстоя- нии r = 5 см от точечного изотропного радиоактивного источника, имеющего активность А = 148 ГБк. Считайте, что при каждом акте распада излучается в среднем n = 1,8 гамма-фотонов с энергией ε = = 0,51 МэВ каждый.

2.159. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на расстоянии r = 1м интенсивность I гамма-излучения, равную 1,6 мВт/м2. Принимая, что при каждом акте распада ядра излучается один гамма-фотон с энергией ε = 1,33 МэВ, определите активность А источника.

2.160. Активность А препарата уменьшилась в k = 250 раз. Скольким периодам полураспада T1/2 равен протекший промежуток времени t?

2.161. Вычислите толщину слоя половинного ослабления для свинцового экрана, через который проходит узкий монохроматиче- ский пучок γ-лучей с длиной волны 0,006∙10-10 м.

2.162. Интенсивность узкого пучка γ-лучей после прохождения через слой свинца толщиной в 4 см уменьшилась в k = 8 раз. Опре- делите энергию ε гамма-фотонов и толщину слоя половинного ослабления.

2.163. Какова энергия γ-лучей, если при прохождении через слой железа толщиной в 3,15 см интенсивность излучения ослабля- ется в 4 раза?

2.164. Вычислите толщину слоя половинного поглощения свин- ца, через который проходит узкий монохроматический пучок γ- лучей с энергией 1,2 МэВ.

127

2.165. На железный экран падает узкий монохроматический пу- чок γ-лучей, длина волны которых 0,124∙10-2 нм. Найдите толщину слоя половинного поглощения железа.

2.166. Определите для бетона толщину слоя половинного ослаб- ления х½ узкого пучка γ-излучения с энергией фотонов ε = 0,8 МэВ.

2.167. На какую глубину следует погрузить в воду источник гамма-излучения (энергия гамма-фотонов ε = 1,8 МэВ), чтобы ин- тенсивность пучка, выходящего из воды была уменьшена в k = = 1500 раз?

2.168. Через свинец проходит узкий монохроматический пучок гамма-лучей. При каком значении энергии ε гамма-фотонов тол- щина слоя половинного поглощения будет максимальной? Опреде- лите максимальную толщину слоя половинного поглощения для свинца.

2.169. Чугунная плита уменьшает интенсивность узкого пучка гамма-лучей (энергия гамма-фотонов ε = 2,8 МэВ) в k = 10 раз. Во сколько раз уменьшает интенсивность этого пучка свинцовая плита такой же толщины?

2.170. Узкий пучок гамма-излучения с энергией гамма-фотонов ε = 3,0 МэВ проходит через бетонную плиту толщиной х1 = 1,5 м. Какой толщины х2 плита из свинца даст такое же ослабление дан- ного пучка гамма-излучения?

2.171. Мощность Х экспозиционной дозы, создаваемой удален- ным источником гамма-излучения с энергией фотонов ε = 2 МэВ, равна 0,86 мкА/кг. Определите толщину свинцового экрана, сни- жающего мощность экспозиционной дозы до уровня предельно допустимой Х = 0,86 нА/кг.

2.172. На расстоянии l = 10 см от точечного источника гамма- излучения мощность экспозиционной дозы Х = 0,86 мкА/кг. На ка- ком наименьшем расстоянии от источника излучения экспозицион- ная доза излучения Х за рабочий день продолжительностью t = 8 ч не превысит предельно допустимую 5,16 мкКл/кг? Поглощением гамма-излучения в воздухе пренебречь.

2.173. Под действием космических лучей в воздухе объемом V = = 1 см3 на уровне моря образуется в среднем N = 120 пар ионов за промежуток времени t = 1 мин. Определите экспозиционную дозу Х излучения, действию которого подвергается человек за время t = 1 сут.

128

2.174. Какая доля w всех молекул воздуха при нормальных условиях ионизируется рентгеновским излучением при экспозици- онной дозе Х = 258 мкКл/кг?

2.175. Воздух при нормальных условиях облучается гамма- излучением. Определите энергию, поглощаемую воздухом массой m = 15 г при экспозиционной дозе излучения Х = 258 мкКл/кг?

2.176. Мощность Р экспозиционной дозы гамма-излучения на расстоянии r1 = 0,5 м от точечного источника равна 4,7 мкА/кг. Определите время, в течение которого можно находиться на рас- стоянии r2 = 5 м от источника, если предельно допустимая экспо- зиционная доза излучения Х = 5,16 мкКл/кг? Поглощением гамма- излучения в воздухе пренебречь.

2.177. Под действием космических лучей в воздухе объемом V = 1 см3 на экваторе на уровне моря образуется в среднем N = 24 пары ионов за промежуток времени t = 10 с. Определите экспози- ционную дозу Х излучения, действию которого подвергается чело- век за время t = 1 год.

2.178. На расстоянии l = 15 см от точечного источника гамма- излучения мощность экспозиционной дозы Р = 1,2 мкА/кг. На ка- ком наименьшем расстоянии от источника гамма-излучения экспо- зиционная доза излучения Х за рабочий день продолжительностью t = 6 ч не превысит предельно допустимую 5,16 мкКл/кг? Погло- щением гамма-излучения в воздухе пренебречь.

2.179. Ионизационная камера карманного дозиметра содержит воздух объемом 1 см3 при нормальных условиях. Электроемкость камеры С = 2 пФ. Дозиметр был заряжен до потенциала ϕ1 =150 В. Под действием излучения потенциал понизился до ϕ2 = 100 В. Определите экспозиционную дозу излучения Х.

2.180. Мощность Х экспозиционной дозы, создаваемой удален- ным источником гамма-излучения с энергией фотонов ε = 2 МэВ, равна 0,86 мкА/кг. Определите толщину железного экрана, снижа- ющего мощность экспозиционной дозы до уровня предельно допу- стимой Х = 0,86 нА/кг.

2.181. Считая, что в одном акте деления ядра урана 235U осво- бождается энергия 200 МэВ, определите массу m этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30∙106 кг, если тепловой эквивалент тротила q равен

4,19 МДж/кг.

129

2.182. Найдите энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома кислорода 16О.

2.183. Найдите энергию связи нейтрона и α-частицы в ядре 11B. 2.184. Найдите энергию, необходимую для разделения ядра 16O

на четыре одинаковые частицы.

2.185. Вычислите энергию, необходимую для разделения ядра 20Ne на две α-частицы и ядро 12С, если известно, что энергии связи на один нуклон в ядрах 20Ne, 4Не и 12С равны соответственно 8,03, 7,07 и 7,68 МэВ.

2.186. Сколько тепла выделяется при образовании одного грам- ма 4Не из дейтерия 2Н? Какая масса каменного угля с теплотворной способностью 30 кДж/г эквивалентна в тепловом отношении полу- ченной величине?

2.187. В одном акте деления ядра 235U освобождается энергия 200 МэВ. Определите: 1) энергию, выделяющуюся при распаде всех ядер этого изотопа урана массой m = 1 кг; 2) массу каменного угля с удельной теплотой сгорания q = 29,3 МДж/кг, эквива- лентную в тепловом отношении 1 кг урана.

2.188. Определите энергию ядерных реакций:

Поглощается или освобождается энергия в каждой из указанных реакций?

2.189. Определите, поглощается или выделяется энергия в ядер-

ных реакциях: 1) 21 H + 31 Н → 42 Не + 01n ; 2) 21 H + 73 Li → 2 42 Не + 01n ;

3) 4420 Ca + 11 Н → 1941 K + 24 He . Рассчитайте значение энергии для каж- дой реакции.

2.190. При ядерной реакции 94 Be + 42 Нe → 126 C + 01n освобождает-

ся энергия Q = 5, 7 МэВ. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер бериллия и гелия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определите кинетические энергии Т1 и Т2 продуктов реакции.

2.191. Возможна ли реакция 42 He + 7 Li → 10 B + 01n под действи-

ем α-частиц с кинетической энергией T = 10 МэВ? Перечислить

несколько ядерных реакций, в которых может образоваться изотоп

10B.

130