Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

2.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

1) t = 1 с; 2)

Задача

па церия

При повторном измерении имеем
∆n2 = k∆N2 = kN2(1 – e–λ∆t),	(2)

где N2 – число радиоактивных атомов к моменту начала второго измерения.

2. Разделим соотношение (1) на выражение (2) и примем во внимание, что по условию задачи ∆t одинаково в обоих случаях (∆t = 1 мин), а также что N1 и N2 связаны между собой соотношени-

ем N2 = N1e-λt. В результате, получим
∆n1/∆n2 = eλt,	(3)
где t – время, прошедшее от первого до второго измерения.
3. Для вычисления λ прологарифмируем выражение (3):
ln(∆n1/∆n2) = λt,
откуда
λ = (1/t) ln(∆n1/∆n2).	(4)

4.Подставим числовые данные в (4), выразив время t в часах: t = 30 мин = 0,5 ч, получим

λ= (1/0,5) ln(320/46) ч-1 = 3,9 ч-1.

5.Найдем период полураспада по формуле

T1/2 = ln2/λ = 0,693/3,9 = 0,2 ч. Ответ: λ = 3,9 ч-1; T1/2 = 0,2 ч.

2.9. Определите, сколько ядер в m0 = 1,0 мг радиоизото- 14458 Ce распадается в течение промежутков времени: t = 1 год. Период полураспада церия Т1/2 = 285 сут.

Дано:		СИ	Решение. Задача решается с по-
m0 = 1,0 мг		1,0 10-6кг	мощью	закона радиоактивного
t1 = 1	с		распада. Применим две формы за-
t2 = 1	год		писи данного закона исходя из
Т1/2 = 285 сут			условий задачи.
N1 = ? N2 = ?			1. Так как t << T, то можно
			считать,	что в течение всего про-

межутка t число нераспавшихся ядер остается практически посто- янным и равным их начальному числу N0. Тогда для нахождения числа распавшихся ядер N применим закон радиоактивного рас- пада в виде

N = λN0 t ,

(1)

101

где λ – постоянная радиоактивного распада.

2. Выразим величину λ из формулы для периода полураспада

T1/ 2 = ln 2 / λ :
		λ = ln 2 .						(2)
				T1/ 2
3. С учетом (2) выражение (1) примет вид:
N = N0				t ln 2 / T1/ 2 .				(3)
4. Чтобы определить начальное число ядер (атомов) N0, умно-
жим постоянную Авогадро NА			на число молей ν, содержащихся в
данном изотопе:
N	0	= N	A	ν = N	A	m0	,	(4)
N		= N		ν = N			,	(4)
						M
						M

где m0 – начальная масса изотопа; М –		молярная масса изотопа,
численно равная его массовому числу.
5. С учетом (4) получим из (3)
N = ln 2	NA m0	t .	(5)
	MT1/ 2

6. Выразим числовые значения величин, входящих в формулу

(5), в единицах СИ: NA = 6,02 1023 моль-1, М = 144 г/моль = 0,144 кг/моль, Т1/2 = 285 сут 24 ч 3600 с = 246,24 105 с.

7.Проведем вычисления по формуле (5), учтем, что ln2 = 0,693,

врезультате получим

	N	A	m			6,02 1023 1,0 10−6
				0		11
N = ln 2					t = 0,693	0,144 246,24 105 1 = 1,2 10 .
	MT
			1/ 2
8. Рассмотрим случай, когда						t = 1 год и величины t и Т1/2 –

одного порядка. В этом случае дифференциальная форма закона радиоактивного распада (1) здесь неприменима. Поэтому для ре- шения задачи воспользуемся интегральной формой закона, спра- ведливой для любого промежутка t. Получим:

N = N	0	(1− exp(−λt))	=	NA m0	(1− exp(− ln 2	t / T	)).	(6)

				M		1/ 2

9. Так кик ехр(ln2) = 2 , то уравнение (6) принимает вид:

	M	(	−t /T1/2	)
N =	NA m0	1− 2			.	(7)

102

10. Вычислим (7) с учетом, что 1 год = 365 сут:

N =	6,02 1023 1,0 10−6
	0,144	(1− 2−285/365 ) = 2,5 1018

Ответ: 1) N = 1,2 1011 ; 2)		N = 2,5 1018 .

Задача 2.10. Исследования пробы материала на радиоактив- ность показало, что удельная активность по нуклиду 232Th равна 259 Бк/кг. Посчитайте массу тория в 1 кг пробы. Период полурас-

пада T1/2 = 1,4 109 лет. Молярная масса тория М (232Th ) = 232 г/моль.

Дано:		СИ	Решение.

			1.	Число атомов			тория
М (232Th ) = 232 г/моль		-3
Т1/2 = 1,4 10	9	232 10	232Th	в пробе в момент изме-
	лет	кг/моль	рения	его активности			опреде-
а = 259 Бк/кг
			лим по формуле
m = 1 кг
					mTh
mTh = ?			N =			NA ,	(1)

					M

где М - молярная масса вещества, mTh - масса вещества в пробе, NА

-постоянная Авогадро.

2.Масса вещества в пробе

m =

N .

(2)

3. Активность радиоактивного изотопа определяется по формуле


	A = −	dN		= λN .		(3)

4.		dt
	Удельная активность изотопа равна
	а = А/m = λN/m,					(4)
где λ – постоянная радиоактивного распада,
	λ = ln 2 .					(5)
			T1/2
5.	Выразим из (4) и (5) число атомов
	N =		a T1/2m		.	(6)
				ln 2
6.	Подставив (6) в (2), получим:

103

m	=	а M m	T	=	259 232 10−3			1	1, 4 10	4	365	24	3600	=
		NA ln 2
Th			1/2		6,02	1023	0,693								.

= 6, 4 10−11 кг.

Ответ: mTh = 6, 4 10−11 кг .

Задача 2.11. Определить начальную активность А0 радиоактив- ного магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а также активность А по исте- чении времени t = 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа ра- диоактивны. Молярная масса магния М (27Mg) = 24,3 г/моль.

Дано:	СИ
М(27Mg) =	24,3 10-3 кг/моль
= 24,3 г/моль
t = 1 ч	3600 с
m = 0,2 мкг	0,2 10-9 кг
T1/2 (Mg) = 10 мин	600 с
А0 = ? А = ?
	λ =	ln 2
		T1/2

Решение.

1.	Начальная	актив-
ность изотопа
	А0 = λN0,	(1)
где λ – постоянная радио-
активного распада; N0 –
число	атомов изотопа в
начальный момент (t = 0),
.		(2)

2. Выразим начальное количество атомов N0 через значение по-

стоянной Авогадро (NA = 6,02 1023 моль-1):
				N0 =	m		NA ,	(3)
				N0 =			NA ,	(3)
					M
где М – молярная масса вещества.
3. С учетом (2) и (3) формула (1) примет вид
А =	m N	A	ln 2 =	0,2 10−9 6,02 1023		ln 2 = 5,15 1012		Бк = 5,15 ТБк.
А =			ln 2 =			ln 2 = 5,15 1012		Бк = 5,15 ТБк.
0	M Т			24,3 10−3 600
	M Т			24,3 10−3 600
	1/2
4. Активность изотопа уменьшается со временем по закону
				A = A0e-λt.				(4)

5. Подставим в (4) выражение (2) для постоянной распада λ, по-

лучим
A = A0exp(–t ln2/T1/2) =	А (exp(ln 2)−t/T1/ 2	).	(5)
	0
Так как exp(ln2) = 2, окончательно получаем
А = А	2−t /T1/2.		(6)
0

104

6.Подставим в (6) числовые значения:

А= 5,15 1012 2−3600/600 = 8,05 1010 Бк = 80,5 ГБк . Ответ: А0 = 5,15 ТБк, А = 80,5 ГБк.

Задача 2.12. На поверхность воды падает узкий монохромати- ческий пучок γ-лучей с длиной волны 0,775 пм. На какой глубине интенсивность γ-лучей уменьшиться в 100 раз?

Дано:	СИ		Решение.
			Решение.
			1.Ослабление интенсивности	γ-
λ = 0,775 пм	7,75 10-13 м		1.Ослабление интенсивности	γ-
k = 100			лучей определяется из формулы	J =
k = 100			= J0e-μx, откуда
х = ?			= J0e-μx, откуда
х = ?			k = J0/J = e-μx,	(1)
			k = J0/J = e-μx,	(1)
где J0 – интенсивность падающего пучка γ-лучей; J – их интенсив-
ность на глубине x; μ – коэффициент линейного ослабления.
2. Решая уравнение (1) относительно x, находим
			lnk = μx;
			x = lnk/μ.	(2)
3. Для определения μ вычислим энергию γ-квантов:
			ε = hν = hc/λ,	(3)
где h – постоянная Планка;		c – скорость света в вакууме.

4.Подставляя в (3) числовые значения, получим

ε= 6,62 10−34 3 108 = 2,56 10−13 Дж =1,6 МэВ. 7,75 10−13

5.По графику (рис. 2.4) зависимости линейного коэффициента ослабления γ-лучей от их энергии находим μ = 0,06 см-1.

Рис. 2.4

105

6. Подставляя это значение μ в формулу (3), находим: x = ln100/0,06 = 76,8 см.

Ответ: х = 76, 8 см.

Задача 2.13. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воздухе объемом V = 1 см3 в среднем N = 24 пары ионов за время t1 = 10 с. Определите экспозиционную дозу X, получаемую человеком за время t2 = 1 год.

Дано:	СИ		Решение.
V = 1 см3	1,0 10-6м3		1. Экспозиционная доза, получаемая
N = 24			человеком, определяется по формуле
t1 = 10 с							X = Xt2 ,		(1)
t2 = 1 год			где Х – мощность экспозиционной дозы
Х = ?			излучения.
2. Мощность дозы
			X = Q/(mt1),						(2)
где Q – заряд ионов одного знака, образуемых излучением за время
t1 в воздухе массой т.
3. Масса воздуха определяется по формуле
			т = ρV.						(3)
где ρ – плотность воздуха (ρ = 1,29 кг/м3); V – объем воздуха.
4. Заряд всех ионов одного знака определим по формуле
			Q =\|e\|N,						(4)
где \|e\| – элементарный заряд, N – число ионов.
5. Подставим формулы (2)–(4) в (1):
		Х = Хt2 =		Qt2	=	e	Nt2	.	(5)



				mt1		ρVt1

6.Подставим в (5) числовые значения:

=1.6 10−19 24 1 365 24 3600 =

Х1,29 1,0 10−6 10

=9,41 10−6 Кл/кг = 9,41 мкКл/кг.

Ответ: Х = 9,41 мкКл/кг.

Задача 2.14. Найдите энергию реакции 94 Be+ 11 H → 24 He+ 63 Li , если известно, что кинетические энергии протона ТH= 5,45 МэВ,

106

(pH)2 = (pHe)2 + (pLi)2.

ядра гелия ТНе = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90° к

направлению движения протона. Ядро-мишень 9 Be неподвижно.
			4
Дано:	СИ	Решение.
		Решение.
		1. Энергия реакции Q есть разность
ТН = 5,45 МэВ		1. Энергия реакции Q есть разность
ТН = 5,45 МэВ		между суммой кинетических энергий
ТНе = 4,00 МэВ		между суммой кинетических энергий
α = 90°		ядер – продуктов реакции и кинетиче-
v ( 49 Be ) = 0		ской энергией налетающего ядра:
		Q = TLi + THe – TH.		(1)
Q = ?		Q = TLi + THe – TH.		(1)
Q = ?		2. Определим	кинетическую энер-
		2. Определим	кинетическую энер-
гию ТLi, используя закон сохранения импульса
		pH = pHe + pLi ,		(2)
3.Векторы pH и	pHe по условию задачи,		взаимно перпендику-
лярны и, следовательно, вместе с вектором			pLi образуют прямо-
угольный треугольник. Поэтому

(3) 4. Выразим в (3) импульсы ядер через их кинетические энергии.

Так как кинетические энергии ядер по условию задачи много меньше энергий покоя этих ядер, то воспользуемся классической формулой

p2 = 2mT.

(4)

5. Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер их выра- жениями (4), после упрощения получим

mLiTLi = mHeTHe + mHTH,

(5)

где mLi = 6,01513 а.е.м., mHe = 4,00260 а.е.м., mH = 1,00783 а.е.м. 6. Выразим из (5) кинетическую энергию атома лития:

TLi = (mHeTHe + mHTH)/mLi =

=(4,00260 4 + 1,00783 5,45) / 6,01513 = 3,57 МэВ.

7.Подставив числовые значения в формулу (1), найдем

Q = 3,57 + 4,00 – 5,45 =2,12 МэВ.

Ответ: Q = 2,12 МэВ.

Задача 2.15. Вычислите энергию ядерной реакции 2759 Со + 01n → 2760 Co + γ (в МэВ). Выделяется или поглощается энергия при протекании этой реакции?

107

Дано:			СИ	Решение.
				Решение.
				1. Энергия ядерной реакции равна
59	1	60		1. Энергия ядерной реакции равна
27 Со +	0 n → 27 Co + γ			2	,	(1)
				∆E = ∆mc
∆E = ?				∆E = ∆mc
∆E = ?				где ∆m – дефект массы реакции; с –
				где ∆m – дефект массы реакции; с –

скорость света в вакууме.

2. Если ∆m выражать в а.е.м., а энергию ∆E – в МэВ, то коэффи- циент пропорциональности с2 = 931,4 МэВ/а.е.м., и формула (1)

примет вид
∆E = 931,4∆m.	(2)
3. Дефект массы равен
∆m =[(m2759 Co + m01n ) − m2760 Co ].	(3)

4. Так как число электронов до и после реакции сохраняется, то вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов: m2759 Co = 58,933188 а.е.м.; m01n = 1, 00867 а.е.м.;

m2760 Co = 59, 933811 а.е.м.; тогда

∆m = (58,933188 +1, 00867 – 59, 933811) а.е.м. = 0, 008047 а.е.м. 5. Реакция идет с выделением энергии, так как ∆m > 0:

∆E = 931,4 ∙ 0,008047 = 7, 49 МэВ.

Ответ: ∆E = 7,49 МэВ, реакция идет с выделением энергии.

Задача 2.16. Определите энергию Е, которую нужно затратить для отрыва нейтрона от ядра 2311 Na .

Дано:	СИ	Решение.
		Решение.
		1. Ядро	23 Na	можно рассматривать		как
23		1. Ядро	23 Na	можно рассматривать		как
11 Na			11
			11
		устойчивую систему, образовавшуюся в резуль-
E = ?		устойчивую систему, образовавшуюся в резуль-
E = ?		тате захвата свободного нейтрона ядром			22	Na .
		тате захвата свободного нейтрона ядром			22	Na .
					11
Энергия	отрыва нейтрона от		ядра	23 Na равна энергии	связи
				11

нейтрона с ядром 2211 Na : E = Eсв.

2. Выразив энергию связи нейтрона через дефект массы систе-

мы, получим
			E = Eсв = c2∆m = с2 (m22		Na	+ m	n	− m23	Na	) ,
					Na		n		Na
где mn	– масса нейтрона, mn = 1, 00867 а.е.м.; m22 Na – масса ядра
22 Na ,	m23	Na	– масса ядра 23	Na , с2 = 931,4		МэВ/а.е.м.
11		Na	11
				108

При подстановке числовых значений заменяем массы ядер мас- сами нейтральных атомов: m23 Na = 22,98977 а.е.м., m22 Na =

= 21,99444 а. е. м., поскольку число электронов в оболочках атомов 23Na и 22Na одинаково:

Е = 931,4 (21,99444 + 1, 00867 – 22,98977) = 12,42 МэВ. Ответ: Е = 12,42 МэВ.

Задача 2.17. Вычислите дефект массы и энергию связи ядра

73 Li .
Дано:	СИ	Решение.
		Решение.
		1. Дефект массы ядра	m есть раз-
73 Li		1. Дефект массы ядра	m есть раз-
mLi=7,01601 а.е.м.		ность между суммой масс свободных
mLi=7,01601 а.е.м.		нуклонов (протонов и нейтронов) и
Eсв = ? ∆m = ?		нуклонов (протонов и нейтронов) и
		массой ядра:
		массой ядра:
		m = Zmp + ( A − Z )mn − mя ,	(1)

где Z – атомный номер изотопа (число протонов в ядре); А – массо- вое число (число нуклонов, составляющих ядро); mр, mn и mя – мас- сы соответственно протона, нейтрона и ядра.

2. Поскольку в справочных таблицах даются массы нейтральных атомов, но не ядер, то преобразуем формулу (1) таким образом, чтобы в нее входила масса mа нейтрального атома. Масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, состав- ляющих электронную оболочку атома: mа = mя + Zmе, откуда mя = = mа – Zmе. Тогда формула (1) примет вид:

m= Z (mp + me ) + ( A − Z )mn − ma .

Сучетом того, что mp + me = m1H (масса атома водорода), полу-1

чим:
m = ZmH + ( A − Z )mn − mа .	(2)

3. Подставим в (2) числовые значения масс в а.е.м.: mH = 1,00783 а.е.м.,

mn = 1, 00867 а.е.м.,

mLi = 7,01601 а.е.м.

Тогда получим

m = [3 1, 00783 + (7 − 3) 1, 00867 − 7, 01601] а.е.м. =

= 0,04216 а.е.м.

109

4. Для вычисления энергии связи ядра воспользуемся формулой

Есв = 931,4 m = 931,4 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ. Ответ: m = 0,04216 а.е.м.; Есв = 39,2 МэВ.

2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.1. Известно, что фазовая скорость Vф = ω/k. Найдите выраже- ние фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и реля- тивистском случаях.

2.2.Вычислите наиболее вероятную длину волны де Бройля λ молекул кислорода, содержащихся в воздухе при комнатной тем- пературе.

2.3.Определите энергию Т, которую необходимо дополни- тельно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля

уменьшилась от λ1 = 0,25 мм до λ2 = 0,15 нм.

2.4.Альфа частица движется по окружности радиусом r = 8,5 мм

воднородном магнитном поле напряженностью Н = 20 кА/м.

Найдите длину волны де Бройля для α-частицы.

2.5.Параллельный пучок моноэнергетических электронов пада- ет нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой a = 0,04 мм. Определите скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц), если известно, что на экране, отстоя- щем от щели на расстоянии L = 50 мм, ширина центрального ди- фракционного максимума b = 60 мкм.

2.6.Длины волн де Бройля для α-частицы и протона, прошед-

ших соответственно ускоряющие разности потенциалов U1 и U2. одинаковы. Найдите отношение величин U1 и U2. Считайте, что величины U1 и U2 гораздо меньше энергий покоя частиц.

2.7.Определите энергию Т, которую необходимо дополни- тельно сообщить протону, чтобы его длина волны де Бройля λ =

=0,16 нм уменьшилась в 4 раза.

2.8.Определите длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциа- лов U = 12 В.

2.9.Написать закон дисперсии (формулу, выражающую зависи- мость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нереля- тивистском и релятивистском случаях.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20221.87 Mб11Елманов Исследование топологии поверхности методом 2011.pdf
#
12.11.202210.73 Mб12Елманов Физические свойства 2014.pdf
#
12.11.20224.84 Mб54Елохин Автоматизированные системы контроля радиационной обстановки окружаюсчей среды 2012.pdf
#
12.11.20225.19 Mб11Елютин Експерименталная физика.Лабораторный практикум 2011.pdf
#
12.11.20223.16 Mб8Ермолаева Сборник задач к выполнению индивидуалныкх домашникх заданиы 2015.pdf
#
12.11.20222.41 Mб14Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015.pdf
#
12.11.20222.1 Mб3Ершова Теория и моделирование структуры и характеристик 2012.pdf
#
12.11.2022918.46 Кб0Журавлева Сборник дополнителных грамматических 2014.pdf
#
12.11.2022369.87 Кб3Журавлева Сборник текстов для подготовки аспирантов-економистов 2011.pdf
#
12.11.2022409.48 Кб3Журавлева Сборник текстов для подготовки аспирантов-физиков 2011.pdf
#
12.11.20223.2 Mб12Журомский Нелинейные системы автоматического управления 2012.pdf