Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015

2.10.Кинетическая энергия T электрона равна удвоенному зна-

чению его энергии покоя (2m0c). Вычислите длину волны λ де Бройля для такого электрона.

2.11.Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от 100 до 50 пм?

2.12.Найдите длину волны де Бройля молекул водорода, соот- ветствующую их наиболее вероятной скорости при комнатной тем- пературе.

2.13.Получите выражение для длины волны де Бройля λ реля- тивистской частицы, движущейся с кинетической энергией Т. При каких значениях Т ошибка в определении λ по нерелятивистской формуле не превышает 1 % для электрона и протона?

2.14.Определите длину волны де Бройля для электрона, нахо- дящегося в атоме водорода на третьей Боровский орбите.

2.15.Выведите зависимость между: 1) длиной волны де Бройля

λрелятивистского электрона и его кинетической энергией, 2) дли- ной волны де Бройля λ релятивистского электрона и ускоряющим потенциалом U.

2.16.Определите, с какой скоростью должен двигаться элек- трон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной вол- ны λ = 0,65 мкм.

2.17.Определите, как изменится длина волны де Бройля элек- трона в атоме водорода при его переходе с третьей боровской ор- биты на вторую.

2.18.Определите, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны.

2.19.Определите, при каком числовом значении кинетической энергии Т длина волны де Бройля протона равна его комптонов- ской длине волны.

2.20.Вывести зависимость между длиной круговой электронной орбиты и длиной волны де Бройля.

2.21.Оцените с помощью соотношения неопределенностей ми- нимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R = 0,06 нм.

2.22.Используя соотношение неопределенностей, оцените наименьшие ошибки в определении скорости электрона и протона,

111

если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены

снеопределенностью 1 мкм.

2.23.Используя соотношение неопределенностей, оцените ши- рину l одномерного потенциального ящика, в котором минималь-

ная энергия электрона Emin = 15 эВ.

2.24. Для приближенной оценки минимальной энергии электро- на в атоме водорода можно предположить, что неопределенность r радиуса r электронной орбиты и неопределенность p импульса p электрона на такой орбите связаны соответственно следующим образом: r ≈ r и p ≈ p . Используя эти связи, а также соотноше-

ние неопределенностей, найдите значение радиуса электронной орбиты, соответствующего минимальной энергии электрона в ато- ме водорода.

2.25. α-Частица находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оцените ширину l ящика, если известно, что минимальная энергия α-частицы Emin = 8 MэB.

2.26.Используя соотношение неопределенностей, найдите вы- ражение для оценки минимальной энергии Е электрона, находяще- гося в одномерном потенциальном ящике шириной l.

2.27.Покажите, используя соотношение неопределенностей, что

вядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 10-15 м.

2.28.Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии со-

ставляет t ≈ 10−8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого <λ> = 600 нм. Оцените ширину Δλ излучаемой спектральной линии, если не про- исходит ее уширения за счет других процессов.

2.29. Оцените относительную ширину w/w спектральной ли- нии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (t = 10-8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ = 0,6 мкм).

2.30. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности х ее координаты, которая соответству- ет относительной неопределенности импульса р = 1 % ?

2.31. Средняя кинетическая энергия электрона в невозбужден- ном состоянии атоме водорода равна 13,6 эВ. По соотношению не-

112

определенностей найдите наименьшую неточность, с которой можно вычислите координату электрона в атоме.

2.32.Электрон движется в атоме водорода по второй боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 15 % от ее числового значения, определите неопреде- ленность координаты электрона.

2.33.Используя соотношение неопределенностей, оцените раз- мытость энергетического уровня в атоме водорода для возбужден- ного состояния, если время его жизни равно 10 нс.

2.34.Принимая, что электрон находится внутри атома диамет- ром 0,3 нм, определите неопределенность энергии данного элек- трона.

2.35.Электрон с кинетической энергией Т = 20 эВ находится в металлической пылинке диаметром 0,8 мкм. Оцените относитель-

ную неточность V в определении скорости электрона.

2.36.Принимая, что минимальная энергия Е нуклона в ядре рав- на 10 МэВ, оценить исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.

2.37.Принимая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна длине волны де Бройля λ, определите относитель-

ную неточность импульса р/р этой частицы.

2.38.Электронный пучок выходит из электронной пушки под действием разности потенциалов U = 250 В. Определите, можно ли одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм и его скорость с точностью до 10 %.

2.39.Ширина следа электрона, обладающего кинетической энергией Т = 2,0 кэВ на фотопластинке, полученного с помощью

камеры Вильсона, составляет х = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу найти отклонение в движении электрона от зако- нов классической механики.

2.40. Объясните физический смысл соотношения неопределен- ности для энергии Е и времени t: Е t ≥ h.

2.41. Волновая функция Ψ = A sin(2πx / l) определена только в

области 0 ≤ х ≤ l. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный множитель А.

113

2.42. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

го центра, а – некоторая постоянная. Используя условие норми- ровки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А.

2.43. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А волновой функции электрона в

ядра, а – первый боровский радиус.

2.44. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

го центра, а – некоторая постоянная. Используя условие норми- ровки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А.

2.45. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

вого центра, а – некоторая постоянная. Используя условие норми- ровки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А.

2.46. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

тра, а – некоторая постоянная. Определите среднее значение квад- рата расстояния расстояние r2 частицы до силового центра.

2.47. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

вого центра, а – некоторая постоянная. Определите наиболее веро- ятное расстояние rв и среднее значение квадрата расстояния рас- стояние r2 частицы до силового центра.

2.48. Нормированная волновая функция, описывающая основ- ное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид:

114

2.49. Для частицы, состояние которой описывается функцией

иимпульса.

2.50.Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

го центра, а – некоторая постоянная. Определите наиболее вероят- ное расстояние rв и среднее значение расстояния расстояние ча- стицы r до силового центра.

2.51. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

имеет вид Ψ = A exp −r , где r – расстояние этой частицы до

a

силового центра, а – некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние rв и среднее расстояние r частицы до сило- вого центра.

2.52. Нормированная волновая функция, описывающая основ- ное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид:

го центра, а – некоторая постоянная. Определите среднее значение функции 1/r2.

2.54. Волновая функция, описывающая некоторую частицу,

115

силового центра, а – некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние rв и среднее расстояние r частицы до сило- вого центра.

2.55. Нормированная волновая функция, описывающая основ- ное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид

первый боровский радиус. Определите среднее расстояние r электрона до ядра и среднее значение функции 1/r2.

2.56. В момент времени t = 0 поведение свободной частицы опи-

мировочный коэффициент А и область, где локализована частица. Найдите плотность тока j.

2.57. Получите уравнение Шредингера для стационарных состо- яний электрона, находящегося в атоме водорода.

2.58.Запишите одномерное уравнение Шредингера для стацио- нарных состояний для частицы, движущейся под действием квази- упругой силы.

2.59.Запишите общее уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси Ох и решите этот уравнение.

2.60.Запишите уравнение Шредингера для стационарных состо- яний для свободной частицы, движущейся вдоль оси Ох и опреде- лите посредством его решения собственные значения энергии. Сделайте вывод об энергетическом спектре свободной частицы.

2.61.Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими стенками находится в воз- бужденном состоянии (n = 3). Определите вероятность нахождения

частицы в области 3l/7 ≤ х ≤ 6l/7.

2.62. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими стенками находится в воз- бужденном состоянии (n = 2). Определите вероятность нахождения частицы в области l/3 ≤ х ≤ 2l/3.

2.63. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими стенками находится в воз- бужденном состоянии (n = 3). Определите, в каких точках ямы

116

(0 ≤ х ≤ l) вероятность обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. В каких точках в интервале (0 < х < l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергети- ческих уровнях одинакова? Поясните полученные результаты гра- фически.

2.64. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найдите отношение разно- сти соседних энергетических уровней к энергии En частицы

втрех случаях: 1) n = 2; 2) n = 7; 3) n → ∞ .

2.65.Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l = 0,2 нм. Опреде- лите в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

2.66.Найдите уровни энергии и волновые функции для частицы

впрямоугольной потенциальной яме конечной глубины (одномер- ный случай). Поле U(x) задается следующим образом:

2.67. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы можно записать в виде:

ничные условия и нормировку ψ-функции, определите: 1) коэффи- циенты С1 и С2; 2) собственные значения энергии Еn. Найдите вы- ражение для собственной нормированной ψ-функции.

2.68.Электрон находится в потенциальной яме шириной l. В ка- ких точках в интервале (0 < х < l) плотность вероятности нахожде- ния электрона на первом и втором энергетических уровнях одина- кова? Вычислите плотность вероятности для этих точек. Решение поясните графически.

2.69.Частица в потенциальной яме находится в основном состо- янии. Какова вероятность нахождения частицы: 1) в средней трети ямы; 2) в крайней трети ямы?

117

2.70.Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определите среднее значение <X> координаты элек-

трона (0 < x < l).

2.71.Протон с энергией Е = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера длину волны де Бройля на 1 %. Определи- те высоту U потенциального барьера.

2.72.Электрон с энергией Е = 100 эВ попадает на потенциаль- ный барьер высотой U = 64 эВ. Определите вероятность W того, что электрон отразится от барьера.

2.73.Электрон с энергией Е = 25 эВ попадает на потенциальный барьер высотой U = 9 эВ. Определите коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.

2.74.Электрон обладает энергией Е = 12 эВ. Определите, во

сколько раз изменится его скорость V, длина волны де Бройля λ и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер высотой U = 9 эВ.

2.75.Частица с энергией Е = 10 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U = 5 эВ. Определите коэффициент преломления n волн де Бройля на границе потенциального барьера.

2.76.Коэффициент отражения протона от потенциального барь- ера равен 5 10-4. Определите, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов.

2.77.Частица массой m = 10-19 кг, двигаясь в положительном

направлении оси х со скоростью V = 20 м/с, встречает на своем пу- ти бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U = = 100 эВ. Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера.

2.78. Определите показатель преломления n волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения ρ = 0,5.

2.79.При каком отношении высоты потенциального барьера и энергии электрона Е, падающего на барьер, коэффициент отраже- ния равен 0,5?

2.80.Электрон с энергией Е = 15 эВ попадает на потенциальный барьер. Определите высоту барьера U, при которой показатель пре-

118

ломления n волн де Бройля и коэффициент отражения ρ численно совпадают.

2.81.Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую раз- ность потенциалов Δϕ = 10 кВ. Во сколько раз отличаются коэф-

фициенты прозрачности De для электрона и Dр для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и шириной d = 0,1 пм?

2.82.Электрон с длиной волны де Бройля λ1= 100 пм, двигаясь

вположительном направлении оси х, встречает на своем пути бес- конечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ. Определите длину волны де Бройля частицы после прохождения барьера.

2.83.Электрон с длиной волны де Бройля λ = 120 пм, движется

вположительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высо- той U = 200 эВ. Определите коэффициент пропускания волн де Бройля через потенциальный барьер.

2.84.Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U – E = 1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастает в n =10 раз?

2.85.Электрон с энергией Е = 9 эВ движется в положительном направлении оси х. Оцените вероятность того, что электрон прой- дет через потенциальный барьер, если его высота U = 10 эВ и ширина d = 0,1 нм.

2.86.Найдите вероятность прохождения электрона через прямо- угольный потенциальный барьер при разности энергий U – E = = 1,2 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0,15 нм; 2) d = 0,6 нм.

2.87.При какой ширине d прямоугольного потенциального ба- рьера коэффициент прозрачности D для электрона равен 0,01? Раз- ность энергий U – E = 7,5 эВ.

2.88. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,15 нм. При какой разности энергий U – E вероятность про- хождения электрона через потенциальный барьер равна 0,95?

2.89. Ядро испускает α-частицы с энергией Е = 5 МэВ. Прини- мая в грубом приближении, что α-частица проходит через прямо- угольный потенциальный барьер высотой U = 10 МэВ и шириной

119

d = 5 фм, найдите коэффициент прозрачности D барьера для α-

энергией движущегося в положительном направлении оси х элек- трона U – E = 5 эВ. Определите, во сколько раз изменится коэффи- циент прозрачности D потенциального барьера для электрона, если разность U – E возрастает в 4 раза.

2.91.Квантовый гармонический осциллятор с частотой колеба- ний находится в первом возбужденном состоянии. Найдите сред- ние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора.

2.92.Квантовый гармонический осциллятор находится в основ- ном состоянии. Найдите вероятность P обнаружения частицы в об- ласти –a < x < a, где a – амплитуда классических колебаний.

2.93.Найдите значение энергетических уровней стационарных состояний заряженного одномерного осциллятора при наложении на него однородного электрического поля действующего вдоль оси колебаний (оси 0х).

может быть решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса которого m и постоянная квазиупругой силы k. Определите собственное значение полной энергии осциллятора.

2.95. Частица массой m движется в одномерном потенциальном

2

поле U (х) = kx2 . Волновая функция, описывающая поведение ча-

стицы в основном состоянии, имеет вид Ψ(х) = Аexp(−аx2 ) , где А

– нормировочный коэффициент, а – положительная постоянная. Определите постоянную а и энергию частицы в основном состоя- нии, принимая, что частица является гармоническим осциллято- ром.

2.96. Математический маятник длиной l = 1,5 м находится в по- ле тяготения Земли. Рассматривая маятник в качестве гармониче- ского осциллятора, определите в электрон-вольтах энергию нуле- вых колебаний маятника.

120