- •Аннотация
- •Оглавление
- •Дорогие читатели!
- •Предисловие
- •Введение
- •Книга 1. Основные понятия теории цепей
- •Модуль 1.1. Основные определения
- •Электрическая цепь
- •Электрический ток
- •Напряжение
- •Электродвижущая сила
- •Мощность и энергия
- •Схема электрической цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Дуальные элементы и цепи
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 1.3. Идеализированные активные элементы
- •Идеальный источник напряжения
- •Идеальный источник тока
- •Схемы замещения реальных источников
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.4. Топология цепей
- •Схемы электрических цепей. Основные определения
- •Понятие о компонентных и топологических уравнениях. Законы Кирхгофа
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 1.5. Уравнения электрического равновесия цепей
- •Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Модуль 2.1. Анализ линейных цепей с источниками гармонических токов и напряжений
- •Понятие о гармонических функциях
- •Линейные операции над гармоническими функциями
- •Среднее, средневыпрямленное и действующее значения гармонических токов и напряжений
- •Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 2.2. Метод комплексных амплитуд
- •Понятие о символических методах
- •Комплексные числа и основные операции над ними
- •Операции над комплексными изображениями гармонических функций
- •Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
- •Порядок анализа цепи методом комплексных амплитуд
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.3. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии
- •Резистивный элемент
- •Емкостный элемент
- •Индуктивный элемент
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Делители напряжения и тока
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Мгновенная мощность пассивного двухполюсник
- •Активная, реактивная, полная и комплексная мощности
- •Баланс мощностей
- •Коэффициент мощности
- •Согласование источника энергии с нагрузкой
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.6. Преобразования электрических цепей
- •Понятие об эквивалентных преобразованиях
- •Участки цепей с последовательным соединением элементов
- •Участки цепей с параллельным соединением элементов
- •Участки цепей со смешанным соединением элементов
- •Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
- •Комплексные схемы замещения источников энергии
- •Перенос источников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 2.7. Цепи с взаимной индуктивностью
- •Понятие о взаимной индуктивности
- •Понятие об одноименных зажимах
- •Коэффициент связи между индуктивными катушками
- •Цепи с взаимной индуктивностью при гармоническом воздействии
- •Понятие о линейных трансформаторах
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 3. Частотные характеристики и резонансные явления
- •Понятие о комплексных частотных характеристиках
- •Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
- •Понятие о резонансе в электрических цепях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур
- •Cхемы замещения и параметры элементов контура
- •Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре
- •Входные характеристики
- •Передаточные характеристики
- •Избирательные свойства последовательного колебательного контура
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.3. Параллельный колебательный контур
- •Схемы замещения
- •Параллельный колебательный контур основного вида
- •Параллельный колебательный контур с разделенной индуктивностью
- •Параллельный колебательный контур с разделенной емкостью
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 3.4. Связанные колебательные контуры
- •Общие сведения
- •Схемы замещения
- •Настройка связанных контуров
- •Частотные характеристики
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Общие сведения
- •Методы, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа
- •Метод контурных токов
- •Метод узловых напряжений
- •Формирование уравнений электрического равновесия цепей с зависимыми источниками
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.2. Основные теоремы теории цепей
- •Принцип наложения
- •Теорема взаимности
- •Теорема компенсации
- •Автономные и неавтономные двухполюсники
- •Теорема об эквивалентном источнике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 4.3. Метод сигнальных графов
- •Общие сведения
- •Преобразования сигнальных графов
- •Применение сигнальных графов к анализу цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 5. Нелинейные резистивные цепи
- •Модуль 5.1. Постановка задачи анализа нелинейных резистивных цепей
- •Вводные замечания
- •Нелинейные резистивные элементы
- •Уравнения электрического равновесия нелинейных резистивных цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 5.2. Графические методы анализа нелинейных резистивных цепей
- •Простейшие преобразования нелинейных резистивных цепей
- •Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Задача аппроксимации
- •Выбор аппроксимирующей функции
- •Определение коэффициентов аппроксимирующей функции
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии
- •Понятие о режимах малого и большого сигнала
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 6. Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
- •Модуль 6.1. Задача анализа переходных процессов
- •Возникновение переходных процессов. Понятие о коммутации
- •Законы коммутации
- •Общий подход к анализу переходных процессов
- •Определение порядка сложности цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Модуль 6.2. Классический метод анализа переходных процессов
- •Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений
- •Порядок анализа переходных процессов классическим методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов
- •Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений
- •Порядок анализа переходных процессов операторным методом
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 6.4. Операторные характеристики линейных цепей
- •Реакция цепи на экспоненциальное воздействие
- •Понятие об операторных характеристиках
- •Методы определения операторных характеристик
- •Дифференцирующие и интегрирующие цепи
- •Вопросы для самопроверки
- •Единичные функции и их свойства
- •Переходная и импульсная характеристики линейных цепей
- •Методы определения временных характеристик
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике
- •Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 7. Основы теории четырехполюсников и многополюсников
- •Модуль 7.1. Многополюсники и цепи с многополюсными элементами
- •Задача анализа цепей с многополюсными элементами
- •Классификация и схемы включения многополюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры линейных неавтономных многополюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Классификация проходных четырехполюсников
- •Основные уравнения и первичные параметры неавтономных проходных четырехполюсников
- •Методы определения первичных параметров неавтономных проходных четырехполюсников
- •Первичные параметры составных четырехполюсников
- •Схемы замещения неавтономных проходных четырехполюсников
- •Автономные проходные четырехполюсники
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Характеристические постоянные передачи неавтономного проходного четырехполюсника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.4. Невзаимные проходные четырехполюсники
- •Идеальные усилители напряжения и тока
- •Однонаправленные цепи и цепи с обратной связью
- •Идеальные операционные усилители
- •Преобразователи сопротивления
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 7.5. Электрические фильтры
- •Классификация электрических фильтров
- •Реактивные фильтры
- •Активные фильтры
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 8. Цепи с распределенными параметрами
- •Модуль 8.1. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
- •Общие сведения
- •Общее решение дифференциальных уравнений длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Волновые процессы в однородной длинной линии
- •Режим стоячих волн
- •Режим смешанных волн
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Проходной четырехполюсник с распределенными параметрами
- •Входное сопротивление отрезка однородной длинной линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Распределение напряжения и тока в однородной линии без потерь при произвольном внешнем воздействии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Модуль 8.5. Цепи с распределенными параметрами специальных типов
- •Резистивные линии
- •Неоднородные линии
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Ответы
- •Книга 9. Синтез электрических цепей
- •Модуль 9.1. Задача синтеза линейных электрических цепей
- •Понятие физической реализуемости
- •Основные этапы синтеза цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Понятие о положительных вещественных функциях
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.3. Методы реализации реактивных двухполюсников
- •Методы выделения простейших составляющих (метод Фостера)
- •Метод разложения в цепную дробь (метод Кауэра)
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 9.4. Основы синтеза линейных пассивных четырехполюсников
- •Задача синтеза четырехполюсников
- •Методы реализации пассивных четырехполюсников
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Ответы
- •Книга 10. Методы автоматизированного анализа цепей
- •Модуль 10.1. Задача автоматизированного анализа цепей
- •Понятие о ручных и машинных методах анализа цепей
- •Общие представления о программах машинного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Топологические матрицы и топологические уравнения
- •Свойства топологических матриц
- •Компонентные матрицы и компонентные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Методы узловых напряжений и контурных токов
- •Метод переменных состояния
- •Формирование уравнений состояния в матричной форме
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи
- •Решения и методические указания
- •Модуль 10.4. Особенности современных программ автоматизированного анализа цепей
- •Выбор методов формирования уравнений электрического равновесия. Понятие о поколениях программ автоматизированного анализа цепей
- •Вопросы для самопроверки
- •Ответы
- •Заключение
- •Приложения
- •Приложение 1. Таблица оригиналов и изображений по Лапласу
- •Приложение 2. Основные уравнения проходных четырёхполюсников
- •Приложение 3. Соотношения между первичными параметрами проходных четырехполюсников
- •Приложение 5. Соотношения между первичными параметрами взаимных и симметричных четырехполюсников
- •Приложение 6. Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •Приложение 7. Инструкция для работы с Самоучителем по курсу «Основы теории цепей»
- •Список литературы
Операции над комплексными изображениями гармонических функций
Определим операции над комплексными амплитудами, соответствующие ли нейным операциям (см. модуль 2.1) над гармоническими функциями времени.
Найдем комплексную амплитуду функции a(t) = α · a1(t), полученной путем ум ножения гармонической функции а1(t) = Аm1 cos(ωt + ψ1) на вещественное число α. Очевидно, что
|
m |
|
Am |
|
jψ |
|
Re |
α∙ |
m |
|
Rejψ |
Re |
, |
||||
где |
a |
|
1 |
= |
|
1 |
е |
|
|
; |
|
= |
|
1= |
1e 1 |
— комплексные амплитуды гармонических |
|
функций |
|
1 |
(t) |
и |
a(t), |
соответственно. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, умножению гармонической функции времени на произвольное число соответствует умножение комплексной амплитуды на это же число:
. 2.36
Определим комплексное изображение суммы гармонических функций времени a1(t), a2(t), ..., aN (t) одной частоты ω с комплексными амплитудами m1, m2, …, mN. В соответствии с (2.34) получаем
Re |
Re |
Re |
Re |
|
. |
Следовательно, суммированию гармонических функций времени одной часто ты соответствует суммирование комплексных амплитуд:
. 2.37
Из выражений (2.36) и (2.37) следует, что линейной комбинации гармониче ских функций времени одной частоты соответствует линейная комбинация их ком плексных амплитуд:
,
где αk— постоянные коэффициенты; N — произвольное целое число.
Найдем комплексное изображение производной гармонической функции вре мени a(t):
d |
d |
Re |
Re |
d |
Re |
. |
d |
d |
d |
Таким образом, дифференцированию гармонических функций времени соот ветствует умножение их комплексных амплитуд на jω:
104
d |
. |
2.38 |
d |
Определим комплексное изображение интеграла от гармонической функции времени a(t):
d |
Re |
d |
Re |
d |
Re |
1 |
. |
jω |
Следовательно, интегрированию гармонических функций времени соответст вует деление комплексных амплитуд на jω:
d |
1 |
. |
2.39 |
Линейным операциям над гармоническими функциям времени соответст вуют линейные операции над их комплексными амплитудами, причем опера ции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умноже ния и деления. Эти свойства комплексных изображений гармонических функ ций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, так как дают возможность замешать систему интегродифференцнальных уравнений электрического равновесия цепи, со ставленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных амплитуд соответствующих токов и напряжений.
Наряду с комплексной амплитудой Аm в качестве изображения гармонической функции a(t) в комплексной плоскости широко используют другую комплексную величину — комплексное действующее значение . По определению, комплексное действующее значение гармонической функции времени a(t) = √2· A∙cos(ωt+ψ) представляет собой комплексное число , модуль которого равен действующему значению А гармонической функции, а аргумент — ее начальной фазе ψ
. 2.40
С помощью выражений (2.12) и (2.32) можно установить связь между ком плексной амплитудой гармонической функции a(t) и ее комплексным дейст вующим значением :
√2 |
. |
2.41 |
На комплексной плоскости изображается в виде вектора, |
совпадающего по |
направлению с вектором . Длина вектора в √2 раз меньше длины вектора .
Комплексные действующие значения тока |
/√2 |
и напряжения |
|||
/√2 |
часто называют |
комплексными током и напряжением |
. |
||
|
|
|
105
Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармони ческими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармо нических функций.
Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи
Рассмотрим произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим воздействием. Выделим участок этой цепи, имею щий два внешних зажима и не содержащий источников энергии (рис. 2.7, а). Ток i и напряжение u на зажимах этого участка являются гармоническими функциями вре мени:
√2 |
cos |
, |
||
√2 |
cos |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.7. Идеализированный пассивный двухполюсник (а) и его комплексные схемы заме щения (б, в)
По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным со противлением) Z пассивного участка цепи называется отношение комплексной ам плитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:
. 2.42
Выражая комплексные амплитуды напряжения и тока через соответствующие комплексные действующие значения √2 ; √2 , устанавливаем, что ком плексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:
. 2.43
Комплексное входное сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число; поэтому оно может быть представлено в показательной
2.44
106
и алгебраической формах.
2.45
Величины z = |Z| и φ называются соответственно модулем и аргументом ком плексного сопротивления, величины r и х его вещественной (резистивной) и мни мой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи z называют также полным входным сопротивлением). Представляя ком плексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, из (2.42) и (2.43) находим
. 2.46
Сравнивая (2.44) и (2.46), устанавливаем, что модуль комплексного сопротив ления z равен отношению амплитуд или действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:
, |
2.47 |
а аргумент равен разности начальных фаз напряжения и тока:
. 2.48
Взависимости от фазовых соотношений между напряжением и током значение
φможет быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (на пряжение отстает по фазе от тока) или равно нулю (ток и напряжение совпадают по фазе).
Комплексное входное сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплексной плоскости, длина которого в определенном масшта бе равна z, а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен φ (рис. 2.8, а). Вещественная r и мнимая х составляющие входного сопротивления Z представ ляют собой проекции вектора Z на вещественную и мнимую оси:
Re |
cos , |
Im |
sin . |
ϑ |
Рис. 2.8. Изображение Z и Y на комплексной плоскости
107
Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется ком плексной входной проводимостью (комплексной проводимостью) участка цепи:
1 . 2.49
Комплексная входная проводимость может быть определена как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряже ния на зажимах рассматриваемого участка цепи:
. 2.50
Представляя комплексную проводимость Y в показательной форме
1
, 2.51
находим, что модуль комплексной входной проводимости y = |Y|, называемый пол ной входной проводимостью цепи, является величиной, обратной модулю ком плексного входного сопротивления:
а аргумент входной проводимости |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
равен по абсолютному значению и противопо |
||||||||||||||||||||
ложен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ― |
φ |
. |
|
|
|
|
|
||
Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представ |
|||||||||||||||||||||
лена в алгебраической форме: |
Y = g + jb |
|
|
g |
и |
b |
— вещественная ( |
резистивная |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
. Здесь |
|
|
) и |
|||||||||||||
мнимая ( |
реактивная |
) |
составляющие входной проводимости, которые можно рас |
||||||||||||||||||
сматривать как проекции вектора |
Y |
на вещественную и мнимую оси комплексной |
|||||||||||||||||||
плоскости (рис. 2.8, б): |
g |
= |
y |
cos |
, |
b |
= |
y |
sin . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (2.49) Z = r + jx и Y = g + jb, определим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводи мости участка цепи:
1
; 2.52
1
. 2.53
Из выражений (2.52), (2.53) следует, что резистивные составляющие комплекс ного входного сопротивления и комплексной) входной проводимости имеют одина ковые знаки:
108
; |
|
, |
2.54 |
|
а реактивные составляющие — противоположные:
; |
|
. |
2.55 |
|
Отметим также, что каждая из составляющих комплексного сопротивления (r и х) зависит как от резистивной g, так и реактивной b составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости (g и b), в свою очередь, зависит от r и х.
Комплексная схема замещения цепи. Законы Ома и Кирхгофа в комплекс ной форме
Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка линейной цепи были введены как отношения комплексных действующих значений или ком плексных амплитуд напряжения и тока, приложенных к зажимам этого участка це пи. В то же время комплексные сопротивление и проводимость любого участка ли нейной цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов, не зависят от амплитуд (действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений и опре деляются только параметрами элементов, входящих в рассматриваемый участок це пи, способом их соединения между собой и частотой внешнего гармонического воз действия.
|
Зная комплексное сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и |
||
одну из приложенных к данному участку цепи величин — ток |
или напряже |
||
ние |
можно, используя (2.42), (2.50), найти неизвестное напряжение или не |
||
известный ток исследуемого участка |
. |
2.56 |
|
|
; |
Аналогично определяют комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи:
; |
. |
2.57 |
Выражения (2.56), (2.57) по структуре напоминают соотношения между мгно венными значениями напряжения и тока на зажимах линейного сопротивления (1.9), (1.10) и являются математической записью закона Ома в комплексной форме. В
отличие от выражений (1.13), (1.16), (1.22), (1.23) уравнения (2.56), (2.57) являются
алгебраическими.
Используя закон Ома в комплексной форме, каждому участку линейной элек трической цепи, составленному из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода (см. рис. 2.7, а), в том числе любому идеализирован ному пассивному двухполюсному элементу, можно поставить в соответствие ком плексную схему замещения, на которой рассматриваемый участок цепи представлен
109
комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения на его за жимах — комплексными амплитудами (см. рис. 2.7, б) или комплексными дейст вующими значениями (см. рис. 2.7, в).
Представляя все входящие в моделирующую цепь идеализированные пассив ные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и ЭДС идеализирован ных источников — их комплексными амплитудами или комплексными действую щими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (схему замещения для комплексных амплитуд или схему замещения для комплексных действующих значений). В отличие от комплексных схем замещения, рассмотренные ранее схемы, на которых были изображены идеализированные двухполюсные элементы и указа ны мгновенные значения токов i и напряжений u ветвей и идеализированных ис точников, будем называть схемами замещения для мгновенных значений.
Таким образом, комплексная схема замещения цепи может быть получена из схемы замещения для мгновенных значений путем замены всех идеализи рованных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений — их комплексными изображе ниями.
По внешнему виду комплексная схема замещения цепи подобна цепи постоян ного тока, составленной только из сопротивлений и идеализированных источников энергии, причем, подобно цепи постоянного тока, компонентные уравнения всех ветвей в комплексной форме являются алгебраическими.
Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса то ков и напряжений, составляемыми на основании законов Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значе ний токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме устанавливает связь между ком плексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:
0 ; |
0 , |
2.58 |
где k — номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме определяет связь между ком плексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих зна
110
чений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю:
0 ; |
0 , |
2.59 |
где — номер ветви, входящей в рассматриваемый контур.
В ряде случаев бывает удобно использовать другую формулировку второго за кона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи, кроме источников напряже ния, равна сумме комплексных изображений ЭДС всех входящих в контур источников напряжения:
; |
, |
2.60 |
где , — комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; , — комплексные изображения ЭДС источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре.
В связи с тем, что выражения (2.58) — (2.60) непосредственно вытекают из со отношений (1.39) — (1.41), при суммировании комплексных изображений токов и напряжений ветвей электрической цепи, в выражениях (2.58) — (2.60) сохраняются те же правила знаков, что и при суммировании мгновенных значений токов и на пряжений.
Законы Кирхгофа были сформулированы только для мгновенных значе ний, комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений. Они не выполняются для амплитуд и действующих значений со ответствующих величин.
Используя выражения для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, мож но составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от уравнений электрического равно весия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений яв ляются алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще, чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгно венных значений токов и напряжений. Таким образом, с использованием комплекс ных схем замещения и полученных на их основании уравнений электрического рав новесия цепи в комплексной форме анализ цепи переменного тока становится не сложнее анализа цепи постоянного тока и может производиться с помощью тех же приемов.
111