8.3. Ненулевое ограничение

Добавление экзогенной переменной не единственный способ, который может привести к идентифицируемости уравнения. В неко­торых случаях неидентифицируемая модель может быть идентифи­цируема путем задания соотношения между структурными коэффи­циентами.

Рассмотрим неидентифицируемую модель спроса и предло­жжения

Улучшим спецификацию модели, введя ограничения :

(8.1)

Благодаря введению ограничения на коэффициенты уравнение предложения также стало идентифицируемым.

Действительно, при использовании ИП можно рассмотреть но­вую версию модели как систему из четырех уравнений:

(8.2)

где Р₁ — цена товара для продавца (сумма, остающаяся у него после уплаты налога).

Последние два уравнения системы являются уравнениями тождествами и не требуют проверки на идентификацию.

Переменная Т не включена в уравнение спроса, поэтому она может использоваться как инструментальная для Р. Точно так же эта переменная не включена в уравнение предложения, поэтому она может использоваться как инструментальная для Р₁.

В итоге модель в целом является точно идентифицируемой.

Вывод. Ограничения на коэффициенты позволяют исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, для нее не нужно искать инструментальную перемен­ную, если экзогенная, то она освобождается на роль инструменталь­ной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.

Пример 8.7. Оценить структурную модель «спрос - предложе­ние» (7.1) по исходным данным.

T	0	2	5	8	10	12	14
P	40	42	43	44	45	48	49
У	70	68	63	61	60	56	52

▼Рассмотрим как исходную (8.1) так и новую (8.2) версии мо­дели.

Было показано, что исходная модель точно идентифицируема, и поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем КМНК.

Оцененные уравнения приведенной системы, полученные по выборочным данным обычным МНК:

, или

Перейти от приведенной формы модели к структурной можно следующим образом. Выразив Т из первого уравнения приведенной

формы в виде и подставив его во второе, получим

т.е.

Выразив Т из первого уравнения приведенной формы в виде подставив его во второе, получим

т.е

Таким образом, получили следующую оцененную модель «спрос - предложение»:

▲

Пример 8.8. Оценить структурную модель вида

где где у — валовой доход;

у_-1 — валовой доход предшествующего года;

С — личное потребление;

D— конечный спрос (помимо личного потребления);

— случайные члены.

Исходные данные (усл. ед.) следующие:

t	y	С	D	y-1
1	3	7	5	47
2	23	30	23	3
3	8	1	2	23
4	21	9	12	8
5	18	25	6	21
6	37	8	45	18
7	36	30	24	37
8	47	32	50	36
9	56	40	32	47
10	32	26	20	56

▼ В данной модели две эндогенные переменные (у, С) и две эк­зогенные переменные (D, y_-1).

Учитывая ограничение на коэффициенты в первом уравнении, а также, что переменная у_-1 на включена в это уравнение, переменные D, y_-1 могут выступать как инструментальные для С_t, следовательно, пер­вое уравнение сверхидентифицировано. Переменная D не включена во второе уравнение, поэтому она может использоваться как инструмен­тальная для у, т. е. второе уравнение точно идентифицировано.

Оценивая систему приведенных уравнений, получим

Для определения параметров сверхидентифицированного урав­нения используем двухшаговый МНК.

По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С теоретическим и рас­считываем новую переменную + D (см. таблицу).

У		D	С + D
3	18,235	5	23,235
23	16,010	23	39,010
8	12,508	2	14,508
21	13,110	12	25,110
18	13,527	6	19,527
37	26,675	45	71,675
36	22,979	24	46,979
47	31,939	50	81,939
56	27,741	32	59,741
32	25,268	20	45,268

Оценивая полученное структурное уравнение обычным МНК, получим

ŷ= 1,443 + 0,624(C +D ).

Для определения параметров точно идентифицированного вто­рого уравнения используем косвенный МНК.

Из первого уравнения приведенной системы выразим D в виде и подставив его во второе, получим

5,559 + 0,427у +0,110у_-1

Таким образом, получили следующую оцененную структурную модель:

▲

Пример 8.9. Оценить следующую идентифицируемую эконо- метрическую модель с двумя эндогенными (у₁, у₂) и двумя экзоген­ными (x_1,x₂) переменными:

по следующим выборочным данным (усл. ед.):

2	5	1	3
3	6	2	1
4	7	3	2
5	8	2	5
6	5	4	6

▼ Для точно идентифицируемой структурной модели применим КМНК.

Приведенная форма модели:

Оцененные уравнения приведенной системы, полученные по выборочным данным с использованием МНК:

Перейдем от приведенной формы модели к структурной. Для этой цели из первого уравнения приведенной формы моде­ли надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения:

, и подставить в первое, а из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х_1, выра­зив его из первого уравнения приведенной формы:

, и подставить во второе.

В результате получим следующую структурную форму модели:

Покажем, что для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.

Из приведенной системы уравнений можно найти расчетные значения эндогенных переменных . Подставляя их вместо фак­тических у₁, у₂ в правую часть структурной модели и применяя обычный МНК к каждому уравнению модели, получим тот же ре­зультат, что и при КМНК.

Расчетные данные для использования ДМНК приведены в таблице:

у1				у2
2	6,303	1		5	2,657	3
3	6,242	2		6	2,763	1
4	6,164	3		7	3,989	2
5	6,220	2		8	4,256	5
6	6,070	4		5	6,334	6

Пусть в исходной идентифицируемой модели наложены огра­ничения на ее параметры , тогда придем к новой модели:

В результате второе (точно идентифицируемое) уравнение не изменилось, следовательно, структурные коэффициенты не изменят­ся, а первое уравнение стало сверхидентифицируемым.

Для определения структурных коэффициентов первого, сверх- идентифицируемого уравнения новой системы используем ДМНК.

Для этого на основе второго уравнения приведенной системы нахо­дим расчетные значения эндогенной переменной. Подставляя их вместо фактических у₂ в первое уравнение полученной системы и применяя обычный МНК, получим решение поставленной задачи.

Исходные данные при использовании ДМНК следующие:

2	1	6,303	7,303
3	2	6,242	8,242
4	3	6,146	9,164
5	2	6,220	8,220
6	4	6,070	10,070

Окончательно рассматриваемая структурная система уравне­ний:

▲