8. Системы одновременных уравнений

8.1. Структурная и приведенная формы уравнений

Системный подход в экономическом анализе предполагает сложную структуру взаимосвязей между признаками, когда эффек­тивность деятельности экономического объекта характеризуется не­сколькими показателями. В этом случае одного регрессионного уравнения может быть недостаточно, и для описания явления или процесса может потребоваться система уравнений и тождеств.

Система одновременных уравнений получила название также структурной формы модели.

Структурной формой модели (системой одновременных урав­нений) называется система уравнений, в каждом из которых аргу­менты помимо объясняющих переменных могут включать в себя также объясняемые переменные из других уравнений системы.

Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели.

Простейшая структурная форма модели имеет вид

где и — зависимая и независимая переменные;

и — случайные члены;

и — параметры модели.

Параметры структурной формы модели называются структур­ными коэффициентами.

Структурная форма модели обычно включает в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными пе­ременными, но и уравнения, отражающие тенденцию развития явле­ния, а также разного рода уравнения-тождества. Тождества не со­держат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайного члена.

В процессе оценивания параметров одновременных уравнений следует различать эндогенные и экзогенные переменные. Приставки «эндо» и «экзо» означают соответственно внутреннее и внешнее.

Эндогенными считаются переменные, значения которых опре­деляются внутри модели и являются зависимыми переменными.

Экзогенными считаются переменные, значения которых опре­деляются вне модели и являются независимыми переменными.

В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться зна­чения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные перемен­ные некоррелированы со случайным членом.

В общем случае эндогенные переменные коррелированы со случайным членом, поэтому применение МНК к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам струк­турных коэффициентов.

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма исходной модели имеет вид

где - параметры приведенной формы;

и — случайные члены.

Параметры приведенной формы модели называются коэффици­ентами приведенной формы (приведенными коэффициентами).

Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, поскольку экзогенные переменные некоррелированы со слу­чайным членом.

Оцененные коэффициенты приведенной формы могут быть ис­пользованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвен­ным МНК.

Приведенная форма модели аналитически уступает структур­ной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

При переходе от приведенной формы модели у структурной возникает проблема идентификации.

Идентификация — это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Тот или иной структурный коэффициент может либо однознач­но выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь не­сколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единственен, и сверхидентифицируемым, если имеет несколько разных оценок; в про­тивном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение называется идентифици­руемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравне­ние идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то вся модель неидентифицируема.