II. Сверхидентифицированность

Рассмотрим следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

где — объем государственных расходов.

В исходной модели — эндогенные переменные, а — экзогенные. Обе экзогенные переменные не присутствуют в структурном уравнении функции потребления и могут использо­ваться как инструментальные для эндогенной переменнойY.

Структурное уравнение модели, в которой число экзогенных переменных, которые могут использоваться как инструментальные, больше, чем необходимо, является сверхидентифицируемым.

Наилучшим решением в данном случае является применение двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) и построение инструментальной переменной, которая является комбинацией .

Процедура ДМНК производится в несколько этапов.

1. На основе приведенной формы модели получают для сверх- идентифицированного уравнения теоретические (расчетные) значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

2. Подставляя теоретические значения эндогенных переменных вместо их фактических значений в сверхидентифицируемое уравне­ние и применяя обычный МНК, определяют его структурные коэф­фициенты.

ДМНК можно рассматривать как способ конструирования наи­лучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных в случае, когда в уравнении имеется избыток экзогенных перемен­ных, которые можно использовать как инструментальные для объ­ясняющей эндогенной переменной.

Пример 8.4. Для некоторой страны имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходеY, объеме потребления С, инвестициях I и госу­дарственных расходахG, полученные за 10 лет:

	195	203	210	200	215	215	210	215	225	220
It	10	20	30	20	10	20	30	20	15	30
Gt	20	10	20	40	30	10	20	10	40	20
Уt	225	233	260	260	255	245	260	245	280	270

Построить функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов:

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в таб­лице.

Сt	It	Gt	Yt	Ŷt
195	10	20	225	237,486
203	20	10	233	238,953
210	30	20	260	263,258
200	20	40	260	273,210
215	10	30	255	248,905
215	20	10	245	238,953
210	30	20	260	263,258
215	20	10	245	238,953
225	15	40	280	266,767
220	30	20	270	263,258

В данной модели — эндогенные переменные, а I_t,G_t— экзогенные.

Непосредственное оценивание структурного уравнения функциипотребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

Ĉ= 109,8 + 0,4Y,

где оценки = 109,8; = 0,4 — смещенные и несостоятельные.

Структурное уравнение для функции потребления является сверхидентифицируемым, поскольку переменные I_t, G_t не включены

в него и могут выступать как инструментальные для У_t. Для оценки параметров сверхидентифицируемого уравнения используем ДМНК. Оценивая приведенное уравнение для совокупного дохода

обычным МНК, получим

Ŷ= 201,7 + 1,29I+ 1,14G .

Подставив расчетные значения Ŷ вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение

и оценка полученного уравнение обычным МНК дает

Ĉ = 171,3 + 0,156 У ,

где оценки = 171,3; = 0,156 — состоятельны. ▲

Пример 8.5. Имеются поквартальные данные по РФ (1995-2005 гг., трлн. руб.) об объемах валового внутреннего продукта (ВВП), расходов на конечное потребление (КП), валового накопления (ВН) и чистого экспорта (Э) в среднегодовых ценах 1995 г. Оцените следующую структурную модель:

где ВВП_t-4- объем ВВП за аналогичный квартал предыдущего года.

▼ Исходные данные и расчетные показатели представим в виде таблицы.

Квартал	t	ВВПt	КПt	ВНt	Эt	ВВПt-4	t
1	1	329	260	43	26
2	2	341	248	73	20
3	3	395	266	124	5
4	4	360	251	105	4

/

Квартал	t	ВВПt	КПt	ВНt	Эt	ВВПt-4	t
1	5	322	257	55	10	329	322
2	6	329	254	64	11	341	335
3	7	373	244	116	13	395	393
4	8	349	241	86	22	360	361
1	9	320	255	52	13	322	316
2	10	327	258	63	6	329	320
3	11	385	267	ИЗ	5	373	366
4	12	362	278	78	6	349	341
1	13	316	247	73	-4	320	306
2	14	323	237	87	-1	327	314
3	15	350	270	62	18	385	385
4	16	329	275	-7	61	362	383
1	17	311	244	24	43	316	325
2	18	333	232	51	50	323	336
3	19	390	242	89	59	350	369
4	20	369	245	41	83	329	359
1	21	346	222	40	84	311	340
2	22	367	222	61	84	333	364
3	23	432	253	100	79	390	421
4	24	399	250	85	64	369	392
1	25	346	235	46	65	346	368
2	26	364	242	71	51	367	383
3	27	424	261	116	47	432	450
4	28	400	265	101	34	399	408
1	29	363	272	53	38	346	354
2	30	382	269	69	44	364	376
3	31	449	289	111	49	424	442
4	32	418	287	88	43	400	414
1	33	377	272	50	55	363	381
2	34	399	280	74	45	382	396
3	35	469	296	127	46	449	467
4	36	445	300	100	45	418	434
1	37	405	298	58	49	377	392

Квартал	t	ВВПt	КПt	ВНt	Эt	ВВПt-4	t
2	38	430	296	80	54	399	418
3	39	498	316	122	60	469	495
4	40	478	306	113	59	445	469
1	41	435	314	61	60	405	428
2	42	463	309	84	70	430	459
3	43	534	336	127	71	498	531
4	44	509	318	128	63	478	506

В структурной модели три эндогенные переменные(КП_t, ВН_t, ВВП_t) и две экзогенные переменные (Э_t,ВВП_t-4).

Первое структурное уравнение является сверхидентифицируемым, поскольку переменные Э_t,ВВП_t-4 не включены в него и могут выступать как инструментальные для ВВП_t.Для оценки параметровсверхидентифицируемого уравнения используемДМНК.

Оценивая приведенное уравнение

обычным МНК, получим

_t = -30,66 + 0,50Э_t +1,06ВВП_t

Подставив расчетные значения вместо фактических значе­ний в первое структурное уравнение функцииКП_t получим уравнение

и оценка полученного уравнение обычнымМНК дает

К _t= 110,72 + 0,40ВВП_t

Поскольку второе структурное уравнение не содержит эндо­генных переменных в качестве факторов, то для оценки его пара­метров используем обычный МНК и в результате получим

В _t= -103,66 + 0,48ВВП_t-4

Третье структурное уравнение-тождество не содержит неиз­вестных параметров.

Таким образом, получены следующие параметры структурной модели:

где все коэффициенты модели статистически значимы. ▲