3. Дифракция

3.1. Дифракция Френеля и дифракция Фраунгофера

ρ_k= (k=1,2,3,…) − радиус k-той зоны Френеля, где R – расстояние от точечного источника до круглого диаметром D отверстия в ширме, r₀ – расстояние от ширмы до экрана, λ – длина волны. Для удалённого источника (R→∞), т.е когда на ширму падает параллельный пучок лучей, эта формула принимает вид ρ_k= .

Если число зон k, видимых с осевой точки М экрана в сечении отверстия чётное, то в точке М будет тёмное пятно (минимум освещённости), а если k – нечётное, то светлое.

Если в отверстии ширмы укладывается более одной зоны Френеля, т.е. соотношение между R, r₀, D и λ таково, что D/2>ρ₁= , то дифракция носит название дифракции Френеля. В зависимости от того, на сколько D/2>ρ₁, пятно в точке М может быть как тёмным (если k – чётное), так и светлым (если k – нечётное). Если же в отверстии ширмы укладывается не более одной зоны Френеля, т.е. соотношение между R, r₀, D и λ таково, что D/2≤ρ₁, то дифракция носит название дифракции Фраунгофера. При D/2≤ρ₁ пятно в точке М всегда светлое.

3.2. Дифракционная решётка

Угловое положение главных максимумов на экране определяется формулой

(k=0,1,2,…),

где b – период решётки (расстояние между штрихами), λ – длина волны; число k называется порядком максимума.

b=L/N, где L – длина решётки, N – число штрихов на ней;

n=1/b – плотность штрихов.

Величина D= называется угловой дисперсией решётки; здесь dα – угловое смещение максимума при изменении длины волны на dλ. При нормальном падении света на решётку D=k/b=kn, где k – порядок максимума (обычно k=1).

Величина R= называется разрешающей силой (разрешением) решётки; здесь Δλ – минимальная разность длин волн двух спектральных линий (вблизи λ), при которой эти линии на экране воспринимаются раздельно. При нормальном падении света на решётку R=kN, где k – порядок максимума (обычно k=1).

3.3. Угловое разрешение объектива

− угловое разрешение объектива диаметром D на длине волны λ (γ – это минимальный угол между двумя точечными источниками, при котором они разрешены в фокальной плоскости объектива, т.е. они визуально различимы именно как два).

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.1. Жёлтый свет (λ=600 нм) падает нормально на ширму с круглой диафрагмой диаметром D=6 мм. За ширмой на расстоянии r₀=3 м находится экран. Определить: а) сколько зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы; б) светлым или тёмным будет центр дифракционной картины.

3.2. Расстояние между точечным источником (λ=500 нм) и экраном l=2 м. Посередине между ними находится ширма с круглым отверстием. Определить диаметр отверстия D, открывающий лишь первую зону Френеля. Какова при этом будет освещённость в центре дифракционной картины, если освещённость на экране без ширмы равна I₀?

3.3. Расстояние между точечным источником (λ=500 нм) и экраном l=1 м. Посередине между ними находится ширма с круглым отверстием. Определить минимальный отличный от нуля диаметр отверстия D, чтобы центр дифракционной картины был тёмным.

3.4. В чёрном листе бумаги сделали прокол иглой диаметром D=1 мм. На это отверстие падает нормально оранжевый свет (λ=625 нм). Какой вид дифракции (Френеля или Фраунгофера) будет наблюдаться на экране, установленном от отверстия на расстоянии: а) r₀=13 см; б) r₀=20 см; в) r₀=80 см? Светлым или тёмным будет центр дифракционной картины в каждом варианте?

3.5. Расстояние между точечным источником (λ=500 нм) и экраном l=1 м. Между ними помещается ширма с круглым отверстием радиусом ρ=1 мм. На каком расстоянии r от экрана надо поместить эту ширму, чтобы в её отверстии укладывалось наименьшее число k зон Френеля, и чему равно это k ?

3.6. Расстояние между точечным источником (λ=500 нм) и экраном l=1 м. Между ними помещается ширма с круглым отверстием радиусом ρ=0,3 мм. На каком расстоянии r от экрана надо поместить эту ширму, чтобы в её отверстии укладывалось k=2 зоны Френеля?

3.7. Расстояние до Луны l=400 тыс. км. Оценить теоретически минимальные размеры предметов, различимых на Луне объективами диаметром D₁=5 см (бинокль) и D₂=5 м (телескоп).

3.8. Диаметр зрачка глаза человека D=3 мм. На белом экране нарисованы две жирные чёрные точки отделённые промежутком s=5 мм. Оценить, с какого расстояния l человек теоретически сможет различить их именно как две. Принять λ=600 нм.

3.9. На дифракционную решётку падает нормально пучок света с длиной волны λ=680 нм. Экран установлен от решётки на расстоянии l=1 м. Расстояние между двумя максимумами 1-го порядка на экране s=17 см. Определить: 1) плотность штрихов п (мм⁻¹); 2) общее число N всех максимумов на экране; 3) угол α_m отклонения луча в максимуме высшего порядка.

3.10. Доказать, что никакая дифракционная решётка при освещении её белым светом (400≤λ≤760 нм) не даст полного чистого спектра порядка выше первого.

3.11. Ширина дифракционной решётки L=6 см. Каким должен быть её период b, чтобы в первом порядке было разрешено раздвоение Δλ=8 пм (вследствие эффекта Доплера) линии λ=590 нм от краёв диска Солнца? При каком угле при этом будет видно это раздвоение?

3.12. Рассчитать наименьшую ширину L (см) дифракционной решётки и её период b, чтобы она смогла разрешить в первом порядке под углом α=30° раздвоение Δλ=8 пм (вследствие эффекта Доплера) линии λ=590 нм от краёв диска Солнца. При какой ширине L₁ решётка не сможет разрешить это раздвоение ни в каких углах α?

3.13. Плотность штрихов дифракционной решётки п=500 мм⁻¹. Определить: а) ширину Δх (мм) видимого спектра (400≤λ≤760 нм) 1-го порядка на экране, получаемого с помощью линзы с фокусным расстоянием f =1 м; б) углы наблюдения α₁ и α₂ (град) границ этого спектра.

3.14. Определить наибольший порядок максимума k_mах для жёлтой линии (λ=600 нм), который может дать решётка с плотностью штрихов п=500 мм⁻¹. Под какими углами α_k (град) будут наблюдаться все возможные максимумы?

3.15. На дифракционную решётку падает нормально пучок монохроматического света. Линию 1-го порядка решётка даёт под углом α₁=10°. Под каким углом α_m решётка даст линию наибольшего порядка?

3.16. Определить угловую дисперсию D (мин/нм) решётки для угла дифракции α=45° и длины волны λ=500 нм.