Примеры расчета магнитных полей Поле бесконечно длинного цилиндрического проводника

Вычислим магнитное поле бесконечно длинного цилиндрического проводника радиуса . Будем считать для простоты, что ток распределен равномерно по сечению проводника. Введем цилиндрическую систему координат ось которой совпадает с осью проводника. Ввиду симметрии задачи поле не зависит от угла . Поле также не зависит от , поэтому для определения вектора можно использовать закон Ампера

.

Выбирая в качестве контура Г окружность радиуса , лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси с центром на оси , получаем

. (7.6.1)

Для определения магнитного поля внутри провода выберем в качестве контура Г окружность радиуса . Учитывая, что ток, охватываемый контуром Г, в этом случае равен , получаем

. (7.6.2)

Таким образом, поле цилиндрического проводника в области линейно возрастает от нуля до некоторого максимального значения (рис. 1), равного , а при совпадает с полем прямолинейного тока величиной .

Рис. 1

Вычислим магнитную анергию , сосредоточенную внутри проводника на участке единичной длины. Используя определение магнитной энергии

и выражение (7.6.2), получаем

. (7.6.3)

Величину

(7.6.4)

называют внутренней индуктивностью на единицу длины цилиндрического проводника. Из ф-лы (7.6.3) получаем

. (7.6.5)

Таким образом, внутренняя индуктивность на единицу длины цилиндрического проводника при равномерном распределении тока по его сечению не зависит от диаметра проводника.

Поле коаксиального кабеля

Пусть ток, протекающий по внутреннему проводу коаксиального кабеля (рис. 2), равен , а ток внешнего проводника - . Распределение тока по сечениям проводников будем считать равномерным.

Рис. 2

Поступая так же, как и в случае уединенного проводника, придем к следующим выражениям для напряженности магнитного поля:

. (7.6.6)

Для вычисления индуктивности на единицу длины коаксиального кабеля представим ее в виде суммы трех слагаемых:

, (7.6.7)

где — внутренние индуктивности на единицу длины центрального и наружного проводников соответственно, а — так называемая внешняя индуктивность на единицу длины коаксиального кабеля, определяемая магнитным потоком между проводниками.

Величины вычисляются по ф-ле (7.6.4). Опуская преобразования, выпишем окончательные результаты:

; (7.6.8)

, (7.6.9)

где — абсолютная магнитная проницаемость проводника. Как следует из ф-лы (7.6.8), внутренняя индуктивность на единицу длины центрального проводника коаксиального кабеля совпадает с внутренней индуктивностью на единицу длины уединенного цилиндрического проводника [см. ф-лу (7.6.5)].

Внешнюю индуктивность определим следующим образом:

, (7.6.10)

где - энергия магнитного поля, сосредоточенного в зазоре между проводниками, приходящаяся на единицу длины коаксиального кабеля. Вычисляя по ф-ле (7.4.1) и учитывая :

получаем

. (7.6.11)