3. Пример решения задачи.

3.1. Условие.

Найти реакции опор и силу взаимодействия тел конструкции, изображенной на /рис.1/. Численные значении нагрузок : Р = 8 кН, Р₂ = 12 кН, q = 1,8 кН/м, M = 24 кНм. Размеры на /рис.1/ даны в м.

Рис.1. Заданная схема конструкции.

3.2. Решение.

Данная конструкция является совокупностью тел АС и СВ . соединенных цилиндрическим шарниром С . Искомые реакции опор А и В и усилие в шарнире С действуют на оба тела. Поэтому рассмотрим ра­вновесие каждого тела, освободив их от связей, заменив действие последних реакциями /рис. 2а, б/. Действие жесткой заделки А

на тело АС заменим реакцией , неизвестной по модули и по направлению, и парой сил с неизвестным моментом М_{А .} Действие подвижной цилиндрической шарнирной опоры В заменяем реакцией , направ­ленной перпендикулярно опорной плоскости. Расчленяя конструкцию в промежуточном шарнире С , действие тел друг на друга заменяем силами _C и _C , которые неизвестны по модулю и по направлению. По аксиоме о действии и противодействии _C = _C .

Рис.2. Расчетная схема конструкции.

На тела конструкции действуют плоские произвольные системы сил, поэтому равновесие каждого тела выражается тремя алгебраическими уравнениями. Следовательно, равновесие данной конструкции выражает система шести уравнений. Неизвестных в задаче также шесть: направление и модуль _A , М_А , модуль _B , направ­ление и модуль _C . Следовательно, задача статически определенная.

Система уравнений конструкции:

(a)

В системе уравнений (a) , - силы, действующие на тела AC и CB соответственно.

Для составления системы уравнений (а) выбираем направление осей X и Y /рис.2/ и представляем:

При определении воспользуемся теоремой о моменте равнодействующей:

так как .

Распределённую нагрузку заменим равнодействующей , проходящей через центр тяжести эпюры q.

Составляем систему уравнений (а):

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )

Решать систему уравнений будем методом подстановки, так как в уравнения входят от одного до трех неизвестных. Предварительно определим CD , и из прямоугольника /рис.2б/ :

; ; ;

Тогда

Решаем систему уравнений. При этом учитываем, что по модулю

, . Противоположность направления и , и , следующая из соотношения _C = _C , учтена на /рис.2/ и при составлении системы уравнений.

Из ( 6 ) = кН.

Из ( 5 ) = кН.

Из ( 4 ) = кН.

Из ( 1 ) кН.

Из ( 2 ) кН.

Из ( 3 )

кН.

Отрицательные значения указывают, что при заданных нагрузках направления , , противоположны первоначально принятым.

По полученным из решения значениям X_A , Y_A , X_C , Y_C определим и .

Их модули:

кН.

кН.

Направляющие косинусы :

;

.

Следовательно, .

Направляющие косинусы :

;

.

Следовательно, .

Графические построения и по их координатам приведены на /рис.3/.

Масштаб : 1 см 4 кН.

Рис.3. Построение и .

Стр. 33