Расчет параметров уравнения регрессии по индивидуальным данным
Рассмотрим расчет параметров уравнения регрессии между стоимостью основных фондов х и валовым выпуском продукции у.
Исходные данные и расчет приведем в табл. 2.
Предположим, что зависимость между показателями х и у линейная, т.е.
Таблица 2
Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии
по индивидуальным данным
Основные фонды, млн руб. х |
Валовой выпуск продукции, млн руб. у |
х2 |
ху |
_ ух = -10,24 + + 2,12х |
12 16 25 38 43 55 60 80 91 100 |
28 40 38 65 80 101 95 125 183 245 |
144 256 625 1444 1849 3025 3600 6400 8281 10000 |
336 640 950 2470 3440 5555 5700 10000 16653 24500 |
15 24 43 70 81 106 117 159 183 202 |
∑x = 520 |
∑у = 1000 |
∑x²=35624 |
∑ух=70244 |
∑ух=1000 |
Параметры а и b этого уравнения найдем, решив систему нормальных уравнений (5). Подставив в нее необходимые суммы, рассчитанные в табл. 2, получим
10a
+ 520b
= 1000,
520 a + 35624b = 70244.
Решив систему уравнений, найдем, что а = -10,24, b = 2,12. Отсюда искомое уравнение регрессии у по х будет
yx = -10,24 + 2,12 х .
Подставляя в данное уравнение последовательно значения х (12, 16, 25 и т.д.), находим теоретические (выравненные) значения результативного признака, т.е. yx, которые показывают, каким теоретически должен быть средний объем валового выпуска продукции при данной стоимости основных фондов хi (при прочих равных условиях для всех предприятий). Теоретические значения yx приведены в последней графе табл. 2 (с округлением до целых).
Для нахождения а и b при линейной зависимости могут быть предложены готовые формулы.
Так, на основе определителей 2-го порядка из системы нормальных уравнений (5) получим:
, (6)
или, разделив каждое уравнение на n в системе нормальных уравнений (12), и путем дальнейших преобразований получим:
(7)
или
(8)
следовательно,
В рассматриваемом примере найдем параметр b по формуле
Р
ассчитав
= 520/10 = 52 и у
= 1000 / 10 = 100,
легко найти а:
а
=
Параметр b, т.е. коэффициент при х, в уравнении линейной регрессии называется коэффициентом регрессии.
Коэффициент регрессии показывает, на сколько (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.
По данным корреляционной таблицы необходимо рассчитать линейный коэффициент корреляции по формуле
где σх и σу – соответственно среднее квадратическое отклонение в ряду х и в ряду у.
,
.
т.е. между х и у связь выше средней.
r < 0,3 – малая зависимость;
0,3 < r <0,6 - средняя зависимость;
0,6 < r <0,8 - зависимость выше средней;
r > 0,8 – большая, сильная зависимость.
Эмпирическая линия регрессии, отражающая на графике зависимость между х и у, не всегда дает основание для выдвижения гипотезы о линейной зависимости. Характер ломаной линии может быть различным.