Метод рядов Тейлора.

Разложим точное решение y(x) в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись 3 слагаемыми. Положим . Получим:

(4)

Напомним, что при численном решении задачи Коши точное решение нам известно лишь в точке . Предположим, что мы нашли приближенное решение в точке . Воспользуемся формулой (4), чтобы получить приближенное решение в точке , для этого, вместо точного значения решения поставим приближенное .

Формула 2 – го порядка точности методом рядов Тейлора примет

вид:

. (5)

Метод рядов Тейлора, как и все последующие рассмотренные нами методы, является одношаговым. Для вычисления нового значения функции нам необходимо знать лишь одно предыдущее значение функции . К недостаткам метода относится получение производных и необходимость расчета значений трех функций , поэтому строятся другие формулы, имеющие ту же точность, но без указанных выше недостатков. Погрешность на отдельном шаге равна , на всем отрезке погрешность составит Метод имеет второй порядок точности

Можно построить формулы более высокого порядка точности, удерживая в разложении в ряд Тейлора большое число слагаемых.

Метод Эйлера.

Формулу Эйлера можно получить, удерживая в формуле рядов Тейлора лишь два слагаемых. Формула имеет вид:

Погрешность на отдельном шаге равна , на всем отрезке погрешность составит . Метод имеет первый порядок точности.

Метод Эйлера иногда называют методом ломанных из-за его геометрического смысла. В точке проводится касательная к интегральной кривой y(x). Новое значение функции определяется как точка пересечения касательной с вертикальной прямой . Вообще говоря, мы попадаем на новую интегральную кривую уравнения (2). Следующая касательная к новой интегральной кривой проводится в точке .

Т.о. интегральная кривая заменяется ломаной линией.

Метод Эйлера можно отнести к методам Рунге–Кутта 1 –го порядка.

При возрастании x погрешность решения может накапливаться.

Методы Рунге-Кутта 2-го порядка.

Метод Эйлера – Коши (или метод типа «предиктор-корректор»).

Метод состоит из двух этапов. Сначала находят по методу Эйлера грубое решение, предиктор:

.

На следующем шаге это грубое решение сглаживается, корректор:

.

Запишем метод в более удобной для расчетов и программирования форме:

На каждом шаге метода вычисляются коэффициенты и значения решения, начиная с точки .

Погрешность на отдельном шаге равна . Тогда на всем отрезке погрешность составит

Модифицированный метод Эйлера.

Расчеты осуществляются по формулам:

Или в другой форме записи:

Как и в предыдущем методе, погрешность на отдельном шаге равна . На всем отрезке погрешность составит

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

Расчеты осуществляются по формулам:

В данном методе погрешность на отдельном шаге , на всем отрезке погрешность составляет .

Оценка погрешности методов по правилу Рунге.

Для практической оценки погрешности используется правило Рунге. В узле вычисляется приближенное решение с шагом h и h/2. Разность между точным решением и приближенным решением (значение решения в узле с шагом h/2) оценивается выражением:

,

где - значение решения в узле, вычисленное с шагом h, p – порядок метода.

Рассмотрим данные методы на примере. Будем решать задачу Коши для дифференциального уравнения

, . (6)

Найдем решение уравнения (6) на отрезке [0,1] численными методами.

Разобьем отрезок интегрирования на 5 равных частей:

.

Получили 6 узлов, в них будем искать значения решения нашего уравнения.

Точное решение уравнения имеет вид:

Значения точного решения в узлах сетки равны:

Еще раз напомним, что при численном решении задачи Коши, решение получаем в виде таблицы значений решения в узлах.

Решим уравнение методом Эйлера.

Найдем значение решения в узле , для этого подставим в формулу для расчетов начальные условия. Получим:

.

Значение решения в узле :

и на всей сетке узлов соответственно:

Найдем решение уравнения методом Эйлера – Коши.

В узле , с шагом :

Соответственно значения решения на сетке узлов равны:

Теперь сгустим сетку, уменьшим шаг интегрирования вдвое: . Аналогично вычислим значения решения методом Эйлера – Коши на новой сетке. Получим:

Как видим, теперь значение решения в узле x=0,2 мы получили через значение решения в узле x=0,1. Оценим абсолютные погрешности решений (точное решение нам известно) с шагом и на первоначальной сетке узлов. В узле x=0,2,с шагом и соответственно:

Оценим также погрешность решения с шагом в узле x=0,2 по правилу Рунге:

.

Произведем расчеты для метода Эйлера – Коши по всей сетке узлов, данные сведем в таблицу.

0	0	1	1	0	1	0	0
1	0,2	1,18322	1,18667	0,00345	1,1841	0,00088	0,00086
2	0,4	1,34164	1,34831	0,00667	1,34336	0,00172	0,00165
3	0,6	1,48324	1,4937	0,01046	1,48526	0,00272	0,00258
4	0,8	1,61245	1,62786	0,01541	1,61647	0,00402	0,0038
5	1	1,73205	1,7542	0,02215	1,73787	0,00582	0,00545

Как видно из таблицы, с уменьшением шага интегрирования, погрешность нахождения решения уменьшается, вместе с тем, с ростом x (к концу отрезка) погрешность может накапливаться. Последние две колонки характеризуют реальную и ожидаемую погрешность решения с шагом .

Решим наше уравнение методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

Программно организуем процесс в системе MathCAD.

Получим:

Задание:

1. Решить задачу Коши для ОДУ 1 –го порядка методом Рунге – Кутта 4-го порядка с точностью . Шаг интегрирования , обеспечивающий требуемую точность, выбирать в процессе вычисления из сравнения результатов, полученных с и (правило Рунге). В случае необходимости шаг должен быть уменьшен. Количество узлов – 6.

2. Решить ОДУ методом в соответствии с вариантом.

3. Методы оформить в виде отдельных подпрограмм.

4. Вывод на консоль: i, узел, значения решения каждым из методов, точное значение, реальная и ожидаемая погрешность (по правилу Рунге).

5. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

Варианты методов

0. Метод рядов Тейлора.

1. Метод Эйлера.

2. Модифицированный метод Эйлера.

3. Метод Эйлера – Коши.

Вариант метода соответствует остатку от деления номера по списку на 4.

Варианты ОДУ.

№ вар.	ОДУ	Начальные условия	Отрезок интегрирования	Точное решение уравнения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11