Лабораторные работы2 / Лабораторная работа #2

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра АППМ

Отчет по лабораторной работе №2:

«Частотные характеристики типовых линейных динамических

звеньев и линейной САУ

в разомкнутом состоянии»

Дисциплина:‹‹Теория автоматического управления»

Группа КП-501

№ бригады: 5

Состав бригады: 1.Катанкова Т.С.

2. Зникин В.А.

Работа защищена:

Преподаватель: Нос О. В.

Новосибирск

2008 г.

Цель работы:

Целью лабораторной работы является исследование с помощью метода цифрового моделирования частотных характеристик типовых линейных динамических звеньев в обычном и логарифмическом масштабах, а также построение логарифмических АЧХ и ФЧХ одномерных линейных непрерывных САУ в разомкнутом состоянии.

Исходные данные:

k	T	ξ	k1	T1
4,0	3,5	2,5	2,0	0,15

Где T- постоянная времени, k- коэффициент передачи, ξ- коэффициент демпфирования.

2.1. Интегрирующее звено

2.1.1 Построить АЧХ интегрирующего звена в обычном и логарифмическом масштабах.

При k=4:

На первом рисунке АЧХ интегрирующего звена в обычном масштабе,

на втором - в логарифмическом.

Передаточная функция для данного звена W(p)=4/p, h(t)=4t.

АЧХ интегрирующего звена в обычном масштабе является гиперболой:

;

ЛАЧХ имеет вид прямой и описывается формулой:

Определим частоту среза: ω_с=k=4

2.1.2. Для трёх произвольных частот экспериментально получите точки АЧХ и сравните их с результатами п. 2.1.1.

Теперь возьмем 3 гармонических воздействия одинаковой амплитуды (А_вх=1), но разных частот и сравним полученные значения амплитуд выхода.

Определим ошибки моделирования:

При ω=1:

,

Δ_ачх=0%, Δ_лачх=(12,04-12)/12,04=0,3%,

Значения амплитуд совпадают.

При ω=2:

,

Δ_ачх=0%, Δ_лачх=(6,02-6)/6,02=0,3%,

Значения амплитуд совпадают.

При ω=4:

,

Δ_ачх=0%, Δ_лачх=0%,

Значения амплитуд совпадают.

2.1.3. Исследовать влияние коэффициента передачи k интегрирующего звена на ЛАЧХ.

при k=2:

при k=4:

при k=8:

Анализируя полученные графики, делаем вывод, что частота среза увеличивается пропорционально коэффициенту k (ω_среза= k).

2.2.1. Построить АЧХ и ФЧХ апериодического звена с коэффициентом передачи k и постоянной времени T в обычном и логарифмическом масштабах.

АЧХ и ФЧХ апериодического звена в обычном и логарифмическом масштабах

Передаточная функция апериодического звена:W(p)=4/(3p+1).

; ;

Определим частоту среза:

ЛАЧХ апериодического звена представляет собой две асимптотические прямые с наклонами 0 дБ/дек и -20 дБ/дек, которые соединяются на частоте сопряжения

2.2.2. Для трех частот, включая частоту сопряжения ω_сопр=T^-1, экспериментально получите три точки АЧХ и ФЧХ и сравните полученные результаты с п. 2.2.1.

Возьмем 3 гармонических воздействия одинаковой амплитуды (А_вх=1) и фазы (φ_вх=0), но различных частот и сравним полученные значения А_вых и φ_вых.

При ω=1:

Ошибка моделирования: Δ_ачх=0%, Δ_фчх=(74,3-71,5)/74,3=3,77%.

При ω_сопр=0,33:

Ошибка моделирования: Δ_ачх=0%, Δ_фчх=(45-44,7)/45=0,66%.

При ω=5:

Ошибка моделирования: Δ_ачх=0%, Δ_фчх=(86,2-86)/86,2=0,2%.

2.2.3. Построить АФЧХ апериодического звена.

, где

P (ω)= , Q(ω)= .

При ω_сопр=Т^-1=0,33:

P (ω)= =, Q(ω)= =

Определим ошибку моделирования:

Δ _ВЧХ =0 %,

Δ _МЧХ =0 %.

2.2.4. Исследуйте влияние коэффициента передачи k апериодического звена на ЛАЧХ и АФЧХ

при k=8:

, P (ω)= , Q(ω)= .

при k=4:

, P (ω)= , Q(ω)= .

при k=2:

, P (ω)= , Q(ω)= .

Полученные нами графики подтвердили, что при ω=0 вещественная часть АФЧХ равняется значению коэффициента передачи k.

ЛАЧХ апериодического звена при различных коэффициентов передачи k (верхнему графику соответсвует k=8, а нижнему –k=2)

при k=8: 20lg8=18;

при k=4: 20lg4=12;

при k=2: 20lg2=6;

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод о том, что частота среза зависит от значения коэффициента передачи: чем больше k,тем больше частота среза.

2.2.5 Исследовать влияние постоянной времени Т апериодического звена на АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе.

при Т=1,5:

, , .

ω_сопр=0,67

при T=3:

, , .

ω_сопр=0,33

при T=6:

, , .

ω_сопр=0,167.

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод о том, что частота сопряжения, определяющая место соединения 2 асимптотических прямых, составляющих данные частотные характеристики, определяется значением постоянной времени: ω_сопр=Т₁^-1. Таким образом, чем больше постоянная времени, тем быстрее происходит перегиб.

2.3. Колебательное звено.

2.3.1. Построить АЧХ и ФЧХ в обычном и логарифмическом масштабах для случая колебательного звена с коэффициентом передачи k₁, постоянной времени T₁ и коэффициентом демпфирования ξ.

АЧХ и ФЧХ в обычном масштабе

АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе

2.3.2 По полученной АЧХ определите параметры частотной характеристики.

Определим параметры частотной характеристики аналитически:

; A_max(ω_р)=2; M=1;

=> ω_с=5,271

=> ω_п=3,19

ω_с=5,27 ω_р=6,67∙10^-9

ω_п= 3,19

Частотные параметры, полученные аналитическим и графическим путями, совпадают.

2.3.3. Для трёх частот, включая частоту сопряжения ω_сопр=Т₁^-1, экспериментально получите три точки АЧХ и ФЧХ и сравните полученные результаты с п. 2.3.1.

При ω_сопр=6,67 с^-1:

Ошибка моделирования: Δ_ачх=0%, Δ_фчх=(89,6-88,1)/89,6=1,66%.

При ω= 2 с^-1:

Ошибка моделирования: Δачх=0%, Δфчх=(40,5-39,5)/40,5=2,5%.

При ω= 40 с^-1

Ошибка моделирования: Δ_ачх=0%, Δ_фчх=(157-156)/157=0,63%.

2.3.4. Построить АФЧХ колебательного звена.

2.3.5. Исследуйте влияние коэффициента передачи k₁, постоянной времени Т₁ и коэффициента демпфирования ξ колебательного звена на ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ при соблюдении следующих условий: ξ=1, ξ>1, ξ<1.

Сначала исследуем влияние коэффициента передачи k₁:

АФЧХ: ЛАЧХ и ЛФЧХ:

при k=1: ,

при k=2: ,

при k=4: ,

Значение коэффициента передачи k влияет на вещественную и мнимую части АФЧХ (при ω=0 вещественная часть АФЧХ равняется значению коэффициента передачи k), частоту среза ω_c, на ЛФЧХ коэффициент передачи не оказывает существенного влияния.

Теперь исследуем влияние постоянной времени Т₁:

АФЧХ: ЛАЧХ и ЛФЧХ:

при Т=0,05:

,

ω_сопр=1/Т=20.

при T=0,15:

,

ω_сопр=1/Т=6,67.

при T=6:

,

ω_сопр=1/Т=1.

АФЧХ для трех значений Т сливаются, но одна и та же точка на АФЧХ соответствует трем разным частотам для трех разных Т, так как амплитуда и сдвиг фаз зависят от Т и ω. Также постоянная времени определяет частоту сопряжения, чем больше постоянная времени, тем меньше частота сопряжения.

Рассмотрим влияние коэффициента демпфирования:

АФЧХ ЛАЧХ и ЛФЧХ

при ξ=0,5:

,

при ξ=1:

,

при ξ=2:

,

Чем больше коэффициент демпфирования, тем более пологие графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, т.к. при увеличении ξ уменьшается показатель колебательности М, характеризующий, склонность системы к колебанию. Чем меньше ξ, тем больше амплитуда при одной и той же разности фаз. При 0,5≤ξ≤1 ЛАЧХ колебательного звена можно с достаточной точностью заменить асимптотическими кривыми с наклонами 0 и -40 дБ/дек, если же коэффициент демпфирования лежит вне этих значений, то для построения ЛАЧХ ЛФЧХ необходимо применять специальные поправочные коэффициенты.

2.4. Частотные характеристики в логарифмическом масштабе одномерной линейной непрерывной стационарной САУ в разомкнутом состоянии

2.4.1. Получить АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе при последовательном соединении типовых интегрирующего и колебательного звеньев.

Для интегрирующего звена частотная передаточная функция , колебательного -

.

ω_сопр=1/0,15=6,67

Экспериментально L(ω_сопр)=-6,46 дБ.

Ошибка моделирования составляет Δ=(7,837-6,46)/7,838 ·100%=17,6 %

2.4.2 Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ последовательно соединенных типовых апериодического и колебательного динамических звеньев.

Для апериодического звена частотная передаточная функция , для колебательного .

.

2.4.3. Исследовать влияние коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоянии k_раз, а также постоянных времени апериодического и колебательного звеньев на ЛАЧХ и ЛФЧХ для п. 2.4.2.

Исследуем влияние коэффициента передачи:

Верхнему графику ЛАЧХ соответствует наибольшее значение коэффициента передачи, а нижнему - наименьшее.

Чем больше k,тем больше частота среза и тем выше располагается ЛАЧХ (т.к. L(0)=20lоg k).

При изменении постоянной времени апериодического звена – изменяется частота среза апериодического звена, а при изменении постоянной времени колебательного звена – частота среза колебательного звена.

Вывод:

В ходе выполнения лабораторной работы мы изучили частотные характеристики линейных динамических звеньев в обычном и логарифмическом масштабах и исследовали влияние на них различных параметров(коэффициент передачи k, постоянная времени Т, коэффициент демпфирования ξ). Научились строить ЛАЧХ и ЛФЧХ одномерных линейных САУ в разомкнутом состоянии.