Примеры моделей игр.

Пример 1. (Оборона города) Этот пример известен в литературе под названием “игра полковника Блотто”. Полковник Блотто имеет m полков, а его противник - n полков. Противник защищает две позиции. Позиция будет занята полковником Блотто, если на ней наступающие части окажутся в численном превосходстве. Противоборствующим сторонам требуется разделить полки между двумя позициями.

Определим выигрыш полковника Блотто (игрока 1) на каждой позиции. Если у него на позиции полков больше, чем у противника (игрока 2), то его выигрыш на этой позиции равен числу полков противника плюс один (занятие позиции равносильно захвату одного полка). Если у игрока 2 полков на позиции больше, чем у игрока 1, то игрок 1 теряет все свои полки на этой позиции и еще единицу (за потерю позиции). Если обе стороны имеют одинаковое число полков на позиции, то имеет место ничья и каждая из сторон ничего не получит. Общий выигрыш игрока 1 равен сумме выигрышей на обеих позициях.

Игра, очевидно, антагонистическая. Опишем стратегии игроков. Пусть, для определенности, m>n. Игрок 1 имеет следущие стратегии: x₀=(m,0) - послать все полки на первую позицию, x₁₌(m-1,1) - (m-1) полков послать на первую позицию, а один - на вторую, x₂=(m-2,2), ..., x_m-1=(1,m-1), x_m=(0,m). Противник (игрок 2) имеет такие стратегии: y₀=(n,0), y₁=(n-1,1), ..., y_n=(0,n).

Пусть игрок 1 выбрал стратегию x₀, а игрок 2 - стратегию y_0. Вычислим выигрыш а₀₀ игрока 1 в этой ситуации. Поскольку m>n, на первой позиции выигрывает игрок 1. Его выигрыш равен n+1 (единица - за удержание позиции). На второй позиции - ничья. Поэтому а₀₀=n+1. Вычислим а₀₁. Так как m>n-1, то на первой позиции выигрыш игрока 1 равен n-1+1=n. На второй позиции выигрывает игрок 2. Поэтому проигрыш игрока 1 на этой позиции равен единице. Таким образом, а₀₁=n-1. Рассуждая аналогично, получаем а_{0 j}=n-j+1-1=n-j, 1 j n. Далее, если m-1>n, то а₁₀=n+1+1=n+2, a₁₁=n-1+1=n, a_{1 j}=n-j+1-1-1=n-j-1, 2 j n. В общем случае (для любых m и n) элементы а_{i j}, i=0, m, j=0,n матрицы выигрышей вычисляются следующим образом:

Так, при m=4, n=3, рассмотрев всевозможные ситуации, получим матрицу выигрышей А этой игры:

y₀ y₁ y₂ y₃

x₀ 4 2 1 0

x₁ 1 3 0 -1

A= x₂ -2 2 2 -2

x₃ -1 0 3 1

x₄ 0 1 2 4

Пример2. Содержание. Каждый из игроков 1 и 2 выбирает одно из чисел, 0 или 1, после чего игрок 1 получает от игрока 2 сумму выбранных чисел.

Моделью игры является 2x2 матричная игра Г_А с матрицей выигрышей

0 1

А=

Анализ. В этой игре имеется единственная ситуация равновесия (седловая точка) : (1 , 0).

Пример 3. Игра в “чет - нечет”. Содержание. Игрок 1 зажимает в руке четное (ч) или нечетное (н) число мелких предметов, а игрок 2 пытается эту четность отгадать. В случае угадывания (ситуация (ч,ч) и (н,н)) он получает от игрока 1 одну единицу, а в случае неугадывания (ситуация (ч,н) и (н,ч)) платит ему единицу.

Моделью является 2x2 - матричная игра Г_А, где

у н

А=

Анализ: здесь нет седловой точки, и в чистых стратегиях задача не имеет решения.

Пример. Игра “семейный спор”. Содержание. Муж и жена (соответственно игроки 1 и 2) договариваются о том, чтобы провести семейный вечер, посетив балет (б) или футбольный матч (ф). Совместное посещение балета (ситуация (б,б)) доставляет мужу умеренное удовольствие (оцениваемое числом 1), а жене большое (оцениваемое числом 2). Совместное посещение футбола (ситуация (ф,ф)) доставляет удовольствие в обратных оценках (мужу - 2, жене - 1). Наконец отсутствие договоренности (ситуации (б,ф) и (ф,б)) никому удовольствия не доставляют (выигрыш равный нулю).

Моделью является 2х2 - биматричная игра Г(А,В), где

б ф б ф

А= В=

Анализ. Ситуация (б,б) и (ф,ф) являются здесь одновременно и равновесными и оптимальными. Остается открытым вопрос об оптимальном выборе одной из этих двух ситуаций. Одной из возможностей его решения является допущение передачи доли полезности, полученной одним из игроков другому.

21. Игры двух лиц с нулевой суммой. Седловая точка.

Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры. Каждый элемент платежной матрицы а_ij содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша игрока II), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию j. Терминывыигрыш и проигрыш следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс оптимизации выбираемой стратегии.

Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками, загадывающими независимо друг от друга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается четной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного — второй, можем записать платежную матрицу данной игры:

Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока.

Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:

Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п.

Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица А=║a_ij║_mxn. При выборе игроком I стратегии i его гарантированный доход независимо от действий игрока II составит min a_i,j. Поскольку он может выбирать i самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max (min a_i,j). Такой принцип выбора стратегии получил название «принцип максимина». С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш при выборе стратегии j составит maxa_i,j, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить min (max a_i,j). в этом суть принципа минимакса.

Можно доказать справедливость следующего соотношения:

Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа), получаемого игроком I при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) II-го игрока при минимаксной стратегии

В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно отклоняться ни одному из участников. Понятие «оптимальность» здесь означает, что ни один разумный (осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет выбрать такую стратегию, которая даст худший для первого результат. Стратегии i* и j*, образующие седловую точку, называются оптимальными, а значение v = a_i*j*называют ценой игры. Тройка (i*, j*, v) считается решением матричной игры с седловой точкой.

Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей (6.5).

В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2; 3; 5).

24. Метод последовательных приближений.