13. Целочисленная решетка.

Нахождение решения задачи целочисленного программирования методом Гомори начинают с определения симплексным методом оптимального плана задачи (4.1)–(4.2) без учета целочисленности переменных. Если в полученном оптимальном плане задачи (4.1)–(4.2) есть переменные, принимающие дробные значения, то к системе уравнений (4.2) добавляют ограничение  , составленное для   строки следующим образом:

где 

Коэффициент   и   – дробные положительные числа. Символ   означает целую часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее .

Примеры.  , где  , 

, где  ,  .

Полученное ограничение вносят в симплексную таблицу, содержащую оптимальное решение задачи (4.1)–(4.2), и полученную строку выбирают в качестве разрешающей. Разрешающий столбец выбирают по наименьшему по абсолютной величине отношению элементов L-строки к отрицательным элементам разрешающей строки. С выбранным таким образом разрешающим элементом осуществляют переход по известному правилу симплекс-метода к следующей таблице. Если при этом полученное решение окажется еще нецелочисленным, то общий шаг повторяют.

Примечание 1. Признаком отсутствия целочисленности решения служит появление хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами.

Примечание 2. Дополнительное ограничение целесообразно составлять для строки, содержащей в столбце свободных членов дробную наибольшую часть.

Примечание 3. Дополнительное ограничение можно составлять иначе, выбирая в качестве коэффициентов при неизвестных единицы. Тем самым получая ограничение в виде  .

Схема решения ЗЛП в целых числах

1. Исходную задачу решают симплекс-методом до получения оптимального решения, без учета требования целочисленности.

2. Составляют дополнительное ограничение для строки, содержащей дробную наибольшую часть в столбце свободных членов.

3. Коэффициенты нового ограничения вносят в последнюю симплексную таблицу.

4. Разрешающий элемент выбирают как наименьшее отношение по абсолютной величине элементов L-строки к отрицательным элементам разрешающей строки.

5. С выбранным таким образом разрешающим элементом осуществляют переход к следующей симплексной таблице.

6. В случае необходимости составляют еще одно дополнительное ограничение, и процесс повторяют до получения целочисленного решения.

Пример. 

Не принимая во внимание требования целочисленности, задачу решаем симплексным методом до получения оптимального плана.

Решение оптимально, но нецелочисленно. Используем алгоритм Гомори.

Получили оптимальное и целочисленное решение 

L(max) = 5.

Дадим геометрическую интерпретацию решения данной задачи. Из рис. 1 видно, что максимально значение целевая функция принимает в точке  , то есть решение  является оптимальным, но без учета требования целочисленности.

Рис. 1

С учетом требования целочисленности решение   не является оптимальным, поэтому используем дополнительное ограничение

 или  . Значения переменных x₄ и x₅ подставим из второго и третьего уравнений системы ограничений  ,  . В результате получим  . Этому неравенству на рис. 1 соответствует полуплоскость, ограниченная прямой  , отсекающей от многоугольника допустимых решений треугольник АДА*. В новом многоугольнике допустимых решений ОДА*ВС найдем точку А*(1,2), в которой целевая функция принимает максимальное значение. Так как координаты точки А* – целые числа, то решение   является оптимальным планом исходной задачи.