23. Графический метод решения игр.
Схема решения графического метода простейших матричных игр |
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока. 2. Определяют нижнюю (верхнюю) границу выигрыша. 3. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой. 4. Определяют цену игры и оптимальные стратегии. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования. Рассмотрим
игру Согласно
теореме 2 для оптимальной стратегии
игрока 1
Предположим,
что Разделив
обе части последнего неравенства на
υ, получим Предположим,
что
Так
как первый игрок стремится получить
максимальный выигрыш, то он должен
обеспечить минимум величины
Аналогичные
рассуждения приводят к определению
оптимальной стратегии второго игрока,
а именно к нахождению максимального
значения функции
Здесь Таким образом, чтобы найти решение данной игры, определяемой матрице А нужно составить пару двойственных задач и найти их решение. Прямая
задача при
условиях Двойственная
задача при
условиях Так
как каждая игра имеет решение, то
оптимальные пары двойственных задач
существуют и Если одна из задач этой пары решена симплексным методом, то оптимальный план другой задачи содержится в последней симплексной таблице исходной задачи. Оптимальные стратегии матричной игры рассчитываются по формулам
|
с
платежной матрицей 
.
и
цены игры 
выполняется
неравенство
.
.
Это всегда может быть достигнуто
благодаря тому, что прибавления ко
всем элементам матрицы А одного и того
же постоянного числа С не приводят к
изменению оптимальных стратегий, а
лишь увеличивают цену игры на С.
,
.
,
тогда
,
, 
,
.
.
С учетом этого определение оптимальной
стратегии первого игрока сводится к
нахождению минимального значения
функции 
при
условиях
,
, 
.
при
условиях
, 
, 
.
.
.
.
.
, 
,
, 
.
20. Модели матричных игр.
матричная игра определяется как конечная антагонистическая игра, т.е. как такая игра Г=<,, > , в которой множество стратегий игроков и конечны.
Будем считать, что ={1, ... ,m} и ={1, ... ,n}. Стратегии первого игрока в матричной игре будем понимать как горизонтальные ряды некоторой таблицы, а стратегии второго игрока - как вертикальные ее ряды. Если ее клетки - ситуации заполнить значениями функции выигрыша игрока 1, то получится матрица, называемая матрицей выигрышей игры (матрицей игры). Матричную игру с матрицей выигрышей А обозначим Г(А) или ГА. Основным принципом оптимальности в матричных играх (как и в произвольных антагонистических играх) является принцип максимина. Этот принцип предлагает в игре Г(А) с матрицей А= aij i=1, ... ,m; j=1, ... ,n выбирать такие строку i* и столбец j* матрицы, чтобы при любых i=1, ... ,m и j=1, ... , n выполнялось: aij* ai*j*ai*j.
В седловой точке элемент матрицы ai*j* является одновременно минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце