МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НОВОКАХОВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ

Затверджую:

Заступник директора з НР

___________ Л.В.Саврадім

«___» ___________ 200__р.

Методичні вказівки

до самостійної роботи студентів № 2

з дисципліни «Фізика (електрика)»

спеціальності 5.0501031 “Розробка програмного забезпечення“

тема: Визначення напруженості і потенціалу електричного поля

Ухвалено цикловою комісією спеціальності 5.0501031 Протокол № ___ від «___»______ Голова комісії ________________Н.І.Пирогова

Розробив виклкдач

_________О.А.Ходарєва

Нова Каховка

2008

СРС 2

Тема: Визначення напруженості і потенціалу електричного поля

Питання, які треба опрацювати:

1 Напруженість електричного поля.

2 Лінії напруженості.

3 Потенціал, різниця потенціалів.

4 Еквіпотенціальні поверхні.

5 Зв’язок між напругою і напруженістю.

Основні тези лекції

Напруженість електричного поля

Якщо в ту саму точку поля вносити різні заряди Q₁ Q₂, Q₃, ..., то на них діятимуть різні сили F₁, F₂, F₃, ..., але відношення F_і/Q₁ = F₂/Q₂ = Fз/Qз для цієї1 точки поля завжди буде сталим.

Для різних точок поля можна скласти точно такі самі відношення, тобто цією величиною можна кількісно характеризувати поле в різних точках. Відношення

Е = F/Q_пр називають напруженістю електрич­ного поля:

де r — відстань від заряду Q, який створює поле, до точки поля, в якій визначають напруже­ність.

У СІ напруженість елек­тричного поля визначають у ньютонах на кулон (Н/Кл).

Н апруженість — силова характеристика поля, вона чисельно дорівнює силі, яка діє на одиничний позитивний заряд:

Напруженість — величина векторна. За напрям вектора напруже­ності Вберуть напрям сили, з якою поле діє на пробний заряд, вміще­ний у певну точку поля.

Лінії напруженості

Е лектричне поле графічно зручно зображати силовими лініями. Силовими лініями, або лініями напруженості поля, називають лінії, дотичні до яких у кожній точці збігаються з вектором напруженості в даній точці поля.

Лінії напруженості електростатичного поля ніколи не можуть бути замкнені самі на себе. Вони мають обов'язково початок і кінець або йдуть у нескінченність.

Лінії напруженості ніколи не перетинаються.

Густотою ліній напру­женостей характеризують напруженість поля. У місцях, де напруже­ність поля менша, лінії проходять рідше. Приклади найпростіших електричних полів подано на рис. 7.3, а—г.

Електричне поле, у всіх точках якого напруженість поля однакова за модулем і напрямом (Е — сопзі), називається однорідним. При­кладом такого поля можуть бути електричні поля рівномірно заряд­женої площини (рис. 7.4, а) і плоского конденсатора на відстані від країв його обкладок (рис. 7.4, б).

Принцип суперпозиції

Результуюча сила, яка діє на точковий заряд Q з боку двох інших зарядів Q₁ і Q₂ дорівнює геометричній сумі сил F₁ і F₂ з боку кожного із зарядів Q₁ і Q₂.

Оскільки

де Е₁ і Е₂ — напруженості полів, створених зарядами Q₁ і Q₂, то

З цієї рівності випливає, що геометричну суму Е₁ і Е₂ треба розглядати як результуючу напруженість поля в точці, де розміщений заряд (2 (рис. 7.5):

У цьому полягає принцип накладання, або супер­позиції, полів.

Якщо поле створене двома зарядами Q1 і Q2,, то модуль вектора Е визначають за теоремою косинусів (рис. 7.5)

де Е₁ і Е₂ — напруженості електричного поля в точці А, які створю­ють заряди Q₁ іQ2; α — кут між E₁ і Е₂. У загальному випадку принцип суперпозиції формулюється так:

якщо в певній точці простору різні заряджені частинки створю­ють поля напруженості Е_І, Е₂, Е₃ і т. д., то результуюча напруженість поля в цій точці поля дорівнює векторній сумі напруженостей:

Е = Е₁ + Е₂ + Е₃ + ...

Принцип суперпозиції полів полягає в тому, що поля, наклада­ючись, ніяк не впливають одне на одне. Завдяки цьому принципу дос­татньо знати вираз (7.7) для напруженості поля точкового заряду, щоб знайти напруженість поля системи заряджених частинок у будь-якій точці.

Робота сил електростатичного поля

На заряд, розміщений у стаціонарному (такому, що не змінюється з часом) електричному полі, діє сила, внаслідок чого можливе пере­міщення заряду. Внаслідок переміщення заряду в електричному полі виконується робота. Якщо заряд Q переміщується на ∆s то під дією сили F виконується робота

д е ∆s— модуль вектора переміщення; α — кут між напрямами векторів F і ∆s. Якщо поле однорідне (Е = const), то сила F = QЕ, яка діє на заряд з боку поля, також стала. У цьому разі робота

Якщо поле неоднорідне, як, наприклад, поле точкового заряду, то напруженість поля в різних його точках різна. Щоб обчислити роботу в цьому випадку, з'ясуємо, чи залежить робота електричних сил при переміщенні заряду з однієї точки поля в іншу від форми шляху.

Нехай заряд q переміщується з точки 1 у точку 2 в однорідному електричному полі напруженістю Е (рис. 7,8). З точки 1 у точку 2 заряд може переміститись різними траєкторіями, наприклад 1-2 і 1-3-2. Порівняємо роботи сил поля в обох випадках.

За формулою (7.10), робота сил поля на шляху 1-2

оскільки s·соs α = x₂— х₁. Робота сил поля на шляху 1-3-2 дорівнює сумі робіт А₁₃ і A₃₂, але A₃₂ = 0. Оскільки вектори напруженості і переміщення взаємно перпендикулярні і скалярний добуток їх дорів­нює нулю, то

робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду не залежить від форми шляху, а залежить тільки від взаємного розміщен­ня початкової і кінцевої точок траєкторії.

Це — властивість потенціальних полів. З неї випливає (рис. 7.9), що

робота, яка виконується в електричному полі, по замкненому кон­туру дорівнює нулю (х1 = х.2).

При переміщенні зарядів змінюється взаємне розміщення їх, тому робота, яку виконують електричні сили, у цьому разі дорівнює зміні потенціальної енергії заряду, який переміщується:

Це твердження справедливе як для однорідного, так і для неод­норідного поля.

Робота електричних сил відштовхування однойменних зарядів до­датна, якщо заряди віддаляються один від одного, і від'ємна, якщо заря­ди зближуються. Робота електричних сил притягання різнойменних зарядів додатна, якщо вони зближуються, і від'ємна, якщо вони від­даляються один від одного. Оскільки робота електричних сил завжди д орівнює зменшенню потенціальної енергії, то потенціальна енергія відштовхування однойменних зарядів, які наближаються один до одного, додатна і збільшується (рис. 7.10, крива 1). Якщо різнойменні заряди віддаляються один від одного, то потенціаль­на енергія їх притягання від'ємна і прямує до нуля при r→∞ (крива 2).

Потенціальна енергія заряду в однорідно­му полі зв'язана з напруженістю поля спів­відношенням

де х —координата заряду, коли вважати, що П = 0 при х = 0.

Потенціал. Різниця потенціалів.

Візьмемо в електричному полі яку-небудь точку за початкову і відлічува-тимемо від неї потенціальну енергію. Щоб перемістити за­ряд з початкової точки в певну точку поля при будь-якій формі шляху, треба затратити одну й ту саму роботу А (див. § 62). Тому в будь-якій точці поля потенціальна енергія П заряду чисельно дорівнює роботі, яку треба затратити для переміщення заряду в цю точку.

П одібно до того як потенціальна енергія в полі сил тяжіння про­порційна масі тіла, потенціальна енергія електричного поля пропор­ційна заряду:

називають електричним потенціалом поля. Вона характеризує потен­ціальну енергію, яку мав би позитивний одиничний заряд, вміщений у дану точку поля.

Щоб обчислити повну потенціальну енергію заряду, треба знайти роботу сил поля для переміщення заряду з певної точки поля в точку, де поля немає, наприклад на нескінченно велику відстань від зарядів,

які створюють поле.

Згідно з (7.12), роботу сил можна обчислити як різницю потенціалів

початкової і кінцевої точок траєкторії:

Величину (ф₁ — ф₂) називають різницею потенціалів електроста­тичного поля. Поняття різниці потенціалів (або напруги) застосовне тільки до двох різних точок поля.

УСІ різницю потенціалів вимірюють у вольтах: 1 В = 1 Дж/Кл.

Потенціал є енергетичною характеристикою електростатичного поля і як скалярна величина може набувати додатних або від'ємних значень. Оскільки значення потенціальної енергії залежить від вибору нульового рівня енергії, то значення потенціалу можна визначити тільки відносно деякого рівня, взятого за нульовий.

Точку з нульовим потенціалом звичайно визначають залежно від умов задачі. Розв'язуючи задачі, доцільно вражати, що нулю дорівнює потенціал Землі, а не нескінченно віддалених точок електричного поля. Вибір нульового рівня потенціалу не впливає на значення різ­ниці потенціалів.

Для розв'язування задач часто треба знати потенціал електроста­тичного поля точкового заряду q у точці на відстані г від заряду:

Ця формула справедлива за умови, що потенціал прямує до нуля при r→0.

Формулою (7.17) можна користуватися і для визначення потенціалу електричного поля кулі з радіусом R і зарядом Q, рівномірно роз­поділеним по його поверхні (r> R). Всередині кулі потенціал поля сталий і дорівнює

Еквіпотенціальні поверхні

Графічно електричне поле можна зображати не тільки силовими Лініями, а й за допомогою еквіпотенціальних поверхонь — сукупностей ;точок, які мають однаковий потенціал. Перетинаючись з площиною рисунка, еквіпотенціальні поверхні дають еквіпотенціальні лінії.

Нарис. 7.11 зображені потенціальні лінії поля точкового пози­тивного заряду. Навколо цього заряду можна провести безліч еквіпо­тенціальних ліній, їх проводять так, щоб різниця потенціалів для двох будь-яких сусідніх ліній була однакова (наприклад, 1 В). Таке зображення еквіпотенціальних ліній дає наочне уявлення про те, як змінюється різниця потенціалів у даному полі.

Нарис. 7.12 зображено ділянку еквіпотенціальної лінії. У точці 1 розміщений заряд Q. В однорідному електрич-ному полі перенесемо цей заряд Q на відстань х в точки 1 у точку 2 уздовж лінії однакового потенціалу (φ =const). У цьому ра­зі роботу визначають за формулою А = Q (φ1 — φ2)- Водночас А = Fх• cos а=QEх cos a;

отже, Q (φ ₁— φ ₂₎= QEx cos а. Оскільки φ = const, то φ₁— φ₂ = 0 (ліва частина рівняння дорівнює нулю, а отже, і права частина повинна дорівнюва­ти нулю). Оскільки Q, х і Е не можуть дорівнювати нулю, то cos а = 0, звідки а = 90°. Отже, вектор напруженості електричного поля Е завжди перпендикуляр­ний до поверхні однакового потенціалу.

Спинимось на двох важливих властивостях еквіпотенціальних по­верхонь:

у кожній точці еквіпотенціальної поверхні вектор напружено­сті поля перпендикулярний до неї і напрямлений у бік спадання по­тенціалу;

робота переміщення заряду по еквіпотенціальній поверхні до­рівнює нулю.

Виходячи з властивостей еквіпотенціальних поверхонь, за відомим розміщенням еквіпотенціальних поверхонь у кожній точці поля можна визначити напрям вектора напруженості і, навпаки, за відомих розміщенням ліній напруженості можна побудувати еквіпотенціальні поверхні.

Якщо електричне поле утворене кількома зарядами, то потенціал в якій-небудь точці поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним зарядом:

Зв'язок між напруженістю і різницею потенціалів електричного поля

Електричне поле має дві характеристики: силову (напруженість Е) і енергетичну (потенціал φ).

Якщо відомо розподіл потенціалу, тобто його значення в кожній точці поля, то можна знайти і напруженість цього поля в кожній точц і. Розглянемо роботу електричних сил в од-норідному полі при переміщенні позитивного заряду з точки 1 у точку 2 (рис. 7.13):

де Е_х — проекція вектора напруженості Е на напрям х.

З другого боку, цю роботу можна визна­чити через різницю потенціалів на кінцях відрізка ∆x:

Де ∆φ = (φ ₂ — φ₁). Прирівнявши обидва вирази для роботи, дістанемо

QE_x∆x = —Q∆φ,

звідки

О тже,

знаючи напруженість поля в кожній точці, можна обчислити різницю потенціалів між будь-якими точками.

Градієнт

У математиці користуються поняттям «градієнт». Градієнтом називають вектор, який показує напрям найбільшого зростання ска­лярної функції.

Напруженість у якій-небудь точці поля дорівнює швидкості зміни .Потенціалу в цій точці поля, узятій з оберненим знаком. Знак мінус свідчить проте, що напрями векторів Е і grad φ протилежні, тобто вектор Е напрямлений у бік спадання потенціалу.

Якщо поле однорідне (наприклад, поле плоского конденсатора; див. рис. 7.4, б), то напруженість визначають за формулою

де d — відстань, а (φ₁— φ₂) — різниця потенціалів між обкладками конденсатора.

Різницю потенціалів (електричну напругу) у СІ вимірюють у воль­тах (В).

Вольт — це різниця потенціалів (електрична напруга), при якій переміщення заряду в 1 Кл супроводиться роботою в 1 Дж, тобто 1 В = 1 Дж/Кл.

Напруженість електричного поля, згідно з (7.20), вимірюють у вольтах на метр (В/м).