Нормальное и субнормальное нечеткие множества. Унимодальное нечеткое множество.
Нечеткое множество
А называется
нормальным
, если максимальное значение его функции
принадлежности равно 1. Формально это
означает, что для нормального нечеткого
множества необходимо выполнение
следующего условия:
,
(
).
Если высота
нечеткого множества равна единице (
),
но условие
,
(
)
не выполняется, то такое нечеткое
множество называется субнормальным.
Нечеткое множество А называется унимодальным (строго унимодальным), если его функция принадлежности является унимодальной (строго унимодальной).
Произвольная
функция принадлежности
называется унимодальной
на интервале [a,b]
,
если она непрерывна на [a,b],
а также существует некоторый непустой
[c,d]
[a,b],
такой что
и выполняются следующие условия:
- функция строго монотонно возрастает на интервале [a,c] при a<c;
- функция строго монотонно убывает на интервале [d,b] при d<b;
- функция
принимает свое максимальное значение
на интервале [c,d],
т.е. любая точка
является точкой максимума функции
принадлежности относительно интервала
[a,b]:
.
В этом случае любая
точка
нечеткого множества А,
удовлетворяющая условию
,
называется модальным
значением или
модой
нечеткого множества А.
Если в этом определении интервал [c,d] вырождается в точку, т.е. c=d, то соответствующая функция принадлежности называется строго унимодальной на интервале [a,b].
Функция принадлежности
называется унимодальной
(строго
унимодальной),
если она унимодальна (строго унимодальна)
на носителе соответствующего нечеткого
множества А.
Основные типы функций принадлежности.
Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.
Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:
При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).
Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):
При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.
Рисунок
1. Типовые кусочно-линейные
функции принадлежности.
Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой
и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.
Рисунок
2. Гауссова функция принадлежности.
Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рисунке 4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.
Рисунок 3. Описание лингвистической переменной "Цена акции".
Рисунок
4. Описание лингвистической переменной
"Возраст".