Технологии искусственного интеллекта

Епик М.А.

1. Нечеткое множество. Пустое нечеткое множество. Универсум.

Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной уверенностью утверждать – принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет.

Математическое определение нечеткого подмножества: формально нечеткое множество А определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида: < >, где x – является элементом некоторого универсального множества или универсума Х, а - функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому элементу некоторое действительное число из интервала [0,1], т.е. данная функция определяется в форме отображения: , Х→[0,1]. При этом =1 для некоторого означает, что элемент x определенно принадлежит нечеткому множеству А, а значение =0 означает, что элемент x определенно не принадлежит нечеткому множеству А.

Пустое нечеткое множество – множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов: =0.

Универсум – нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна единице для всех без исключения элементов: =1.

2. Носитель нечеткого множества. Конечное и бесконечное нечеткие множества.

Носителем нечеткого множества А называется обычное множество А_s, которое содержит те и только те элементы универсума, для которых значения функции принадлежности соответствующего нечеткого множества отличны от нуля. Математически носитель нечеткого множества определяется следующим условием: , . Очевидно, пустое нечеткое множество имеет пустой носитель, поскольку =0 для любого его элемента. Носитель универсума, рассматриваемого как нечеткое множество, совпадает с самим универсумом.

Нечеткое множество называется конечным, если его носитель является конечным множеством. При этом такое нечеткое множество имеет конечную мощность, которая численно равна количеству элементов его носителя. В этом случае для обозначения мощности произвольного нечеткого множества А можно использовать символ card(A). Мощность пустого нечеткого множества равна 0.

Бесконечное нечеткое множество – множество, носитель которого не является конечным множеством. При этом счетным нечетким множеством называется нечеткое множество со счетным носителем, т.е. носитель которого имеет счетную мощность. Несчетным нечетким множеством называется нечеткое множество с несчетным носителем, т.е. носитель которого имеет несчетную мощность или мощность континуума.

3. Множество α-уровня. Высота нечеткого множества. Ядро, границы и точки перехода нечеткого множества.

Множество α-уровня – обычное множество А_α, удовлетворяющее следующему условию: А_α= , где α – некоторое действительное число из интервала [0,1], т.е. .

Величина , где супремум берется по всем значениям функции принадлежности для , называется высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А пусто, если его высота в точности равна 0, т.е. .

Ядром нечеткого множества А называется такое обычное множество А₁, элементы которого удовлетворяют условию: .

Границами нечеткого множества называются такие элементы универсума, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1. Другими словами, границы нечеткого множества включает те и только те элементы универсума , для которых выполняется условие: .

Элементы нечеткого множества , для которых выполняется условие: , называются точками перехода этого нечеткого множества А.