2. Плоскость000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид
.
Здесь
- радиус-вектор текущей точки
плоскости;
- единичный вектор, имеющий направление
перпендикуляра, опущенного на плоскость
из начала координат;
- углы, образованные этим перпендикуляром
с осями координат;
- длина этого перпендикуляра.
При переходе к координатам это уравнение принимает вид
(1)
(нормальное уравнение плоскости)
2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде
, (2)
если
(общее уравнение). Здесь
можно рассматривать как координаты
некоторого вектора
,
перпендикулярного плоскости (нормального
вектора плоскости). Для приведения
общего уравнения плоскости к нормальному
виду надо все члены уравнения умножить
на нормирующий множитель
, (3)
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.
3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением :
;
параллельна оси
;
;
параллельна оси
;
;
параллельна оси
;
;
проходит через начало координат;
;
перпендикулярна оси
(параллельна плоскости
);
;
перпендикулярна оси
(параллельна плоскости
);
;
перпендикулярна оси
(параллельна плоскости
);
;
проходит через ось
;
;
проходит через ось
;
;
проходит через ось
;
;
совпадает с плоскостью
(
);
;
совпадает с плоскостью
(
);
;
совпадает с плоскостью
(
).
Если в общем уравнении плоскости
коэффициент
,
то, разделив все члены уравнения на
,
уравнение плоскости можно привести к
виду
(4)
(здесь
).
Это уравнение называется уравнением
плоскости в отрезках: в нем
- соответственно абсцисса, ордината и
аппликата точек пересечения плоскости
с осями
,
и
.
4. Угол
между плоскостями
и
определяется по формуле
. (5)
Условие параллельности плоскостей:
. (6)
Условие перпендикулярности плоскостей:
. (7)
5. Расстояние от точки
до плоскости, определяемой уравнением
,
находится по формуле
. (8)
Оно равно взятому по абсолютной величине
результату подстановки координат точки
в нормальное уравнение плоскости; знак
результата этой подстановки характеризует
взаимное расположение точки и начала
координат относительно данной плоскости:
«плюс», если точка
и начало координат расположены по разные
стороны от плоскости, и «минус», если
они расположены по одну сторону от
плоскости.
6. Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид
. (9)
При произвольных значениях
и
последнее уравнение определяет некоторую
плоскость, принадлежащую связке
плоскостей, проходящих через точку
.
Его поэтому часто называют уравнением
связки плоскостей.
7. Уравнение
(10)
при произвольном значении определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей
(I) и , (II)
т.е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.
8. Уравнение плоскости, проходящей
через три заданные точки
,
,
(здесь
),
проще найти из условия компланарности
векторов
,
,
,
где
- радиус-вектор текущей точки искомой
плоскости
:
,
или в координатной форме:
. (11)
9. Если плоскость определена тремя
точками
,
и
,
то уравнение ее также примет вид:
.
(12)
Если четыре точки
,
,
и
лежат в одной плоскости, то между их
координатами существует следующее
соотношение:
.
(13)
Если эти четыре точки не лежат в одной плоскости, то объем тетраэдра, вершинами которого они служат, вычисляется по формуле:
.
(14)
причем знак в правой части выбирается так, чтобы результат получился неотрицательным (V>0).
Пример 1. Уравнение плоскости
привести к нормальному виду.
Решение.
Находим нормирующий множитель (который
берем со знаком «минус», поскольку
):
.
Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид
.
Пример 2. Определить расстояние
от точки
до плоскости
.
Решение.
Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находим
.
Так как результат подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости отрицателен, то и начало координат лежат по одну сторону от заданной плоскости.
Пример 3. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
.
Решение.
Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору:
,
т.е.
.
Пример 4. Найти уравнение плоскости,
проходящей через точку
параллельно плоскости
.
Решение.
Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:
.
Нормальный вектор искомой плоскости
совпадает с нормальным вектором
данной плоскости; следовательно,
,
,
и уравнение искомой плоскости примет
вид
,
или
.
Пример 5. Из точки
на координатные оси опущены перпендикуляры.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через их основания.
Решение.
Основаниями перпендикуляров, опущенных
на координатные плоскости, служат
следующие точки
,
,
.
используя соотношение (11), запишем
уравнение плоскости, проходящей через
точки
,
,
:
,
или
.
Пример 6. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
и отсекающей равные отрезки на осях
координат.
Решение.
Используя уравнение (4) плоскости в
отрезках, в котором
,
имеем
.
Координаты точки удовлетворяют уравнению искомой плоскости, поэтому выполняется равенство
,
откуда
.
Итак, получаем уравнение
.
Пример 7. Составить уравнение
плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей
,
и через точку
.
Решение.
Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей:
.
Значение определяем из условия, что координаты точки удовлетворяют этому уравнению:
,
откуда
.
Таким образом, искомое уравнение имеет вид
,
или
.
Пример 8. Составить уравнение
плоскости, проходящей через линию
пересечения плоскостей
и
и параллельной оси
.
Решение.
Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:
;
.
Так как искомая плоскость параллельна
оси ординат, то коэффициент при
должен быть равен нулю:
,
т.е.
.
Подставив найденное значение
в уравнение пучка, получаем
.
Пример 9. Найти уравнение плоскости,
проходящей через точки
и
перпендикулярно плоскости
.
Решение.
В качестве нормального вектора
искомой плоскости можно взять вектор,
перпендикулярный вектору
и нормальному вектору
данной плоскости. Поэтому за
примем векторное произведение
и
:
.
Остается воспользоваться уравнением
плоскости, проходящей через данную
точку (например,
)
перпендикулярно заданному вектору
:
,
или
.
Пример 10. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярной плоскостям
и
.
Решение.
Очевидно, что в качестве нормального
вектора
искомой плоскости можно взять векторное
произведение нормальных векторов
и
данных плоскостей:
.
Теперь, используя уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно вектору
,
получаем
,
или
.