Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Решение задач анал. геометрии 3.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
21.11.2019
Размер:
1.25 Mб
Скачать

23

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Плоскость и прямая в пространстве

Учебно-методическое пособие для вузов.

Составители: Ф.В. Голованёва,

Е.В. Петрова

ВОРОНЕЖ

2011

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

17 Февраля 2011 года

Протокол № 0500-02

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений

в частных производных и теории вероятностей

математического факультета Воронежского госуниверситета

Рекомендуется для студентов 1-2 курсов очной формы обучения

химического факультета

Для специальности

«Химия, физика и механика материалов» 020900

1. Прямоугольные координаты в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: , и . Точка - начало координат, - ось абсцисс, - ось ординат, - ось аппликат.

Пусть - произвольная точка пространства. Проведем через точку три плоскости, перпендикулярные координатным осям , и . Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через , и . Прямоугольными координатами точки называются числа

,

т.е. величины направленных отрезков ; при этом называется абсциссой, - ординатой, - аппликатой точки . Символ обозначает, что точка имеет координаты .

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел - ее прямоугольные координаты и, обратно, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует, и притом одна, точка в пространстве.

Плоскости , , называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

Расстояние между двумя точками и определяется по формуле

.

В частности, расстояние точки от начала координат определяется по формуле

.

Если отрезок, концами которого служат точки и , разделен точкой в отношении , то координаты точки определяются по формулам

.

В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам

.

Пример 1. Даны точки и . На прямой найти точку , делящую отрезок в отношении .

Решение.

Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

Следовательно, искомая точка .

Пример 2. На оси найти точку, равноудаленную от точек и .

Решение.

Пусть - искомая точка. Для нее должно выполняться равенство . Так как эта точка лежит на оси , то ее координаты , а потому имеем

.

Отсюда после возведения в квадрат получаем

, или , т.е. .

Таким образом, искомая точка .

Задания для самостоятельного решения

1. Даны точки и . Найти координаты точек и , делящих отрезок на три равные части.

2. Дан треугольник: . Показать, что угол - тупой.

3. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами .

4. В каком отношении точка , равноудаленная от точек и , разделит отрезок оси от начала координат до точки ?

5. На оси найти точку, равноудаленную от точек и .

6. На плоскости найти точку, равноудаленную от точек , и .