4.2. Признаки сходимости несобственных интегралов
Теорема.
Пусть
и
непрерывны на
,
и
связаны
неравенствами
.
Из сходимости
следует сходимость
,
из расходимости
следует расходимость
.
Пример.
.
.
- сходится
- сходится.
5. Приложения интегралов
5.1. Вычисление площади плоской фигуры
Площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
,
прямыми
и
и отрезком
оси
,
вычисляется по формуле
.
Площадь
фигуры, ограниченной кривыми
и
и прямыми
и
,
вычисляется по формуле
.
Если
кривая задана параметрическими
уравнениями
,
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, прямыми
и
и отрезком
оси
,
вычисляется по формуле
,
где
и
определяются из уравнений
(
при
).
Площадь
криволинейного сектора, ограниченного
кривой, заданной в полярных координатах
уравнением
и двумя полярными радиусами
,
находится по формуле
.
5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой
Если
кривая
на отрезке
- гладкая (т.е. производная
непрерывная), то длина соответствующей
дуги этой кривой находится по формуле
.
При
параметрическом задании кривой
(
и
- непрерывно дифференцируемые функции)
длина дуги кривой, соответствующая
монотонному изменению параметра
от
до
,
вычисляется по формуле
.
Если
гладкая кривая задана в полярных
координатах уравнением
,
,
то длина дуги равна
.
5.3. Вычисление объема тела
1.
Вычисление объема тела по известным
площадям поперечных сечений. Если
площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси
,
может быть выражена как функция от
,
т.е. в виде
,
то объем части тела, заключенный между
перпендикулярными оси
плоскостями
и
,
находится по формуле
.
2.
Вычисление объема тела вращения.
Если криволинейная трапеция, ограниченная
кривой
и прямыми
,
вращается вокруг оси
,
то объем тела вращения вычисляется по
формуле
.
Если
фигура, ограниченная кривыми
и
(
)
и прямыми
,
вращается вокруг оси
,
то объем тела вращения
.
5.4. Вычисление площади поверхности
Если
дуга гладкой кривой
(
)
вращается вокруг оси
,
то площадь поверхности вращения
вычисляется по формуле
.
Если
кривая задана параметрическими
уравнениями
,
(
),
то
.
Задания для самостоятельного решения
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
11. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
12. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
13. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
14. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
15. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
16. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
17. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
18. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
19. Вычислить длину дуги плоской кривой:
.
20. Вычислить объем тела вращения вокруг оси :
.
21. Вычислить объем тела вращения вокруг оси :
.