3.6. Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на функция была интегрируемая, необходимо и достаточно, чтобы предел разности сумм Дарбу при был равен нулю.

, т. е. , .

Если обозначить колебание функции в i-м частичном промежутке через , то будем иметь

,

и условие существования определенного интеграла может быть переписано так:

.

В этой форме оно обычно и применяется.

3.7. Классы интегрируемых функций

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на данном отрезке.

Теорема 2. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет не более чем конечное количество точек разрыва, то эта функция интегрируема на .

Теорема 3. Монотонная на функция интегрируема на нем.

3.8. Теоремы об оценках определенного интеграла

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке (a<b), то .

Теорема 2. Если и интегрируемы на отрезке (a<b) и удовлетворяют на нем равенству , то

.

Теорема 3. Если функция интегрируема на (a<b) и существуют числа m и М такие, что во всех точках отрезка выполняется неравенство , то

.

Теорема 4. Теорема о среднем для определённого интеграла. Если функция непрерывна на отрезке , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка такая, что имеет место равенство:

.

3.9. Связь определенного и неопределенного интегралов

Пусть – непрерывна . Рассмотрим .

Теорема. Пусть функция – непрерывна, тогда производная равна значению подынтегральной функции в точке верхнего предела.

Теорема. Формула Ньютона – Лейбница. Определенный интеграл равен разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых в точке верхнего предела и в точке нижнего предела.

.

3.10. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть функции и непрерывны, тогда

.

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция непрерывна на отрезке .

2. Функции и непрерывны в промежутке при .

3. .

Тогда в .

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20. ; 21. .

4. Несобственные интегралы

4.1. Основные понятия

Пусть определена и интегрируема на . Предел этого интеграла называют интегралом функции от до и обозначают ; если этот придел конечен, говорят, что интеграл сходится, а если равен или не существует, то интеграл расходящийся.

Пример 1. Изучим вопрос, при каких значениях показателя существует несобственный интеграл ( ).

Решение.

Пусть , тогда

.

Это выражение при имеет пределом или конечное число в зависимости от того, будет ли или . Если имеем

и при в пределе получается .

Таким образом, интеграл при сходится (и имеет значение ), а при расходится.

Пример 2. .

Решение.

Первообразной функцией здесь будет , но двойная подстановка не имеет смысла, так как при не стремится ни к какому пределу – интеграл не существует.

Рассмотрим:

.

Интеграл является сходящимся, если оба интеграла сходятся, расходящийся, если хотя бы один расходится.