Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1.
; 2.
; 3.
;
4.
; 5.
; 6.
;
7.
; 8.
; 9.
;
10.
; 11.
; 12.
;
13.
; 14.
; 15.
;
16.
; 17.
; 18.
;
19.
; 20.
; 21.
;
22.
; 23.
; 24.
;
25.
; 26.
; 27.
;
28.
; 29.
; 30.
;
31.
; 32.
; 33.
;
34.
; 35.
; 36.
;
37.
; 38.
; 39.
;
40.
; 41.
; 42.
;
43.
; 44.
; 45.
;
46.
; 47.
; 48.
;
49.
; 50.
; 51.
;
52.
; 53.
; 54.
;
55.
; 56.
; 57.
;
58.
; 59.
; 60.
;
61.
; 62.
; 63.
.
3. Определенный интеграл
3.1. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Пусть
функция
непрерывна на отрезке
,
причём
.
Рассмотрим фигуру, ограниченную осью
Ох, графиком
и двумя прямыми:
и
.
Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок оси Ох – её основанием.
Найдём
площадь этой фигуры. Разобьём отрезок
на n частей произвольным
образом. Через точки деления
проведем прямые, параллельные оси Оу.
Криволинейная трапеция при этом
разбивается на n
частей. Обозначим длины элементарных
отрезков через
:
В каждом
из элементарных промежутков возьмем
произвольную точку
:
.
Вычислим значения функции в этих точках:
.
Каждую
элементарную полоску с основанием
заменим
прямоугольником с тем же самым основанием
и высотой
(k = 0, 1, 2,…n-1).
Площадь каждого такого прямоугольника
равна
.
При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
или
.
Ясно,
что площадь
ступенчатой фигуры не равна площади
криволинейной трапеции, а является лишь
приближенным значением искомой площади.
Очевидно, что это приближение будет тем
более точным, чем меньше длина частичны
интервалов (и больше n).
Если
измельчать разбиение отрезка
,
то число промежутков возрастает, и
полоски становятся уже, т.е. ломаная
линия будет теснее примыкать к кривой
.
За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремится , когда разбиение отрезка делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):
или
. (1)
Здесь
- наибольшая длина элементарного отрезка.
3.2. Понятие определенного интеграла
Пусть произвольная функция непрерывна на отрезке .
Разобьем
на n частей произвольным
образом точками
.
Обозначим
.
В каждом
из элементарных промежутков выберем
произвольную точку
:
(k = 0,1,…,n-1)
и вычислим значение функции
в этих точках:
(k = 0,1,…,n-1).
Составим сумму:
.
Эта сумма называется интегральной суммой для функции при данном разбиении отрезка на частичные и данном выборе промежуточных точек .
Определение. Если при любых разбиениях на элементарные так, что стремится к нулю, а интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке :
.
Точки
называются точками разбиения,
– длинами отрезков разбиения.
3.3. Свойства определенного интеграла
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
3.4. Необходимое условие интегрируемости
Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то функция ограничена на этом отрезке.
3.5. Суммы Дарбу
Пусть
функция
ограничена для любого
.
И пусть
– нижняя грань,
– верхняя грань.
Очевидно
также, что в силу определения чисел
и
для любых
имеет место неравенство:
.
Отсюда
следует справедливость неравенства:
,
где сумма s называется
нижней, а сумма S - верхней
суммой Дарбу.
Отметим следующие свойства сумм Дарбу:
1. Для
любого разбиения
на отрезке
,
точки
можно выбрать так, чтобы выполнялись
неравенства:
;
,
;
;
.
2. От добавления к отрезку новых точек разбиения, нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
3. Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения.
4. Множество верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка ограничено снизу, а множество нижних сумм ограничено сверху.