1.2. Дробно-рациональные функции
Пусть имеется
дробно-рациональная функция
:
.
Если
,
то дробь правильная. Если
,
то неправильная. Неправильную
дробно-рациональную функцию путём
деления числителя на знаменатель всегда
можно представить в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби:
Оказывается, как увидим позже, всякую правильную дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробно-рациональных функций четырёх типов.
;
где A,
B, р, q
– действительные числа, а трёхчлен
не имеет действительных корней, т.е.
.
1.3. Разложение правильной дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей
Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:
(6)
( ) и знаменатель её разложен на действительные множители:
Тогда дробь (6) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
Здесь
и т.д. – некоторые коэффициенты.
Практически
числа
и т.д. находят по методу неопределённых
коэффициентов.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.
2. Неопределенный интеграл
2.1. Первообразная. Неопределенный интеграл
Основная задача дифференциального
исчисления: по заданной функции
найти её производную
или дифференциал
.
Теперь будем решать обратную задачу:
по заданной производной или дифференциалу
найти саму функцию
.
С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.
Определение. Функция
называется первообразной функцией для
функции
на интервале
,
если
дифференцируема на
и
или
,
.
Простейшие примеры.
1.
,
так как
.
2.
,
так как
.
Если для
существует первообразная
,
то существует и бесчисленное множество
первообразных. Например, для
первообразными будут функции:
и т.д.
Теорема. Если
есть первообразная для функции
на
,
то функция
– также первообразная, где
– любое число.
Теорема. Если две функции
и
являются первообразными для
на
,
то их разность постоянна на этом интервале
.
Из данных теорем следует, что если есть первообразная для на , то любая другая первообразная для на имеет вид
. (7)
Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.
Определение. Множество всех возможных
первообразных функции
на интервале
называется неопределенным интегралом
функции
и обозначается символом:
.
Знак
называется интегралом,
– подынтегральная функция,
– подынтегральное выражение.
Таким образом, если – одна из первообразных для , то по определению:
.
Определение. Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразной) называют интегрированием функции . В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать.
Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой.
Теорема. Если функция непрерывна на , то для неё существует первообразная на , т.е. она интегрируема.
Свойства неопределённого интеграла
Эти свойства вытекают непосредственно из определения.
1. Производная от неопределённого
интеграла равна подынтегральной функции
(применяется для проверки):
.
2. Дифференциал от неопределенного
интеграла равен подынтегральному
выражению:
.
3.
.
Таким образом, символы
и
,
следующие друг за другом в любой
последовательности, взаимно уничтожаются
(с точностью до С).
4. Постоянный множитель можно выносить
за знак неопределенного интеграла:
.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
(верно для любого конечного числа слагаемых).