Пример 4. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит независимого переменного x, поэтому полагая в данном уравнении, мы получим уравнение Бернулли

Подстановкой p²=z оно сводится к линейному уравнению

.

Применяя метод вариации произвольной постоянной, получим общее

решение

Заменяя z через получим

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

Откуда

, где

Это есть общий интеграл данного уравнения.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

xy’’’+y’’=1

Решение.

Данное уравнение не содержит y и y’. Положим y’’=z, тогда

и уравнение примет вид:

Это линейное уравнение первого порядка. Его общее решение . Следовательно

.

Проинтегрировав это равенство два раза получим

2.3. Линейные однородные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно. Линейное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид

Уравнение называется однородным, если f(x)0, если f(x)0,то уравнение называется неоднородным. Всякое решение линейного уравне­ния является частным, особых решений линейное уравнение не имеет.

Линейная комбинация решений однородного линейного уравнения является также решением однородного линейного уравнения. Если известно какое-либо частное решение у₁(х) однородного уравнения, то подстановка у(х)=у₁(х)z(х

приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции z(x), несодержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z'(х) = u(х), получаем линейное однородное уравнение порядка n-1 относительно функции u(х). Однако общих методов отыскания частных решений линейных однородных уравнений с коэффициентами, зависящими от переменной х, нет.

Система функций у₁(х),у₂(х),...,у_n(х) линейно независима на интервале (а,b), если определитель Вронского этой системы

W(x)=

отличен от нуля хотя бы в одной точке х(а,b).

Всякая система из n линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Если известна фундаментальная система решений уравнения, то общее решение этого уравнения имеет вид

где С₁, С₂,...,С_n- произвольные постоянные. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения находят как сумму общего решения однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения. Если известно общее решение у₀₀(х), то для определения частного решения можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ

y″ + a_(x)y' + a₂(x)y = f(x) (3.1)

Его общим решением является функция

y = y*+ y° (3.2)

Частное решение у* уравнения (3.1) можно найти, если известно общее решение у° соответствующего однородного уравнения

y″ + a_(x)y' + a₂(x)y =0 (3.3)

методом ва­риации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в сле­дующем.

Пусть y° = c₁y₁(x) + c₂y₂(х) — общее решение уравнения (3.3).

Заменим в общем решении постоянные c₁ и c₂ неизвестными функциями c₁(x) и с₂(х) и подберем их так, чтобы функция

y* = с₁(х)у₁(х) + с₂(х)у₂(х) (3.4)

была решением уравнения (3.1). Найдем производную

(y*)' = с₁´(х) у₁(х) + с₁(х)у₁'(х) + с₂'(х)у₂(х + с₂(х)у₂'(х)

Подберем функции c₁(x) и с₂(х) так, чтобы

с₁´(х)у₁(х) + с₂'(х)у₂(х) = 0 (3.5)

Тогда

(y*)' = с₁(х)у₁'(х) + с₂(х)у₂'(х),

(y*)″ = с₁´(х)у₁'(х) + с₁(х) у₁″(х) + с₂'(х)у₂'(х) + с₂(х)у₂″(х).

Подставляя выражение для у*, (у*)' и (у*)" в уравнение (3.1), получим:

с₁´(х)у₁'(х) + с₁(х) у₁″(х) + с₂'(х)у₂'(х) + с₂(х)у₂″(х) +

+ a_(x)[с₁(х)у₁'(х) + с₂(х)у₂'(х)] +

+ а₂(x)[ с₁(х)у₁(х) + с₂(х)у₂(х)] =f(x)

или

с₁(х)[ у₁″(х) + a_(x) у₁'(х) + а₂(x) у₁(х)] + с₂(х)[ у₂″(х) + a_(x) у₂'(х) +

а₂(x) у₂(х)] + с₁´(х)у₁'(х) + с₂'(х)у₂'(х) = f(x).

Поскольку у₁(х) и у₂(х) — решения уравнения (3.2), то выражения в ква­дратных скобках равны нулю, а потому

с₁´(х)у₁'(х) + с₂'(х)у₂'(х) = f(x) (3.6)

Таким образом, функция (3..4) будет частным решением у* уравнения (3.1), если функции c₁(x) и с₂(х) удовлетворяют системе уравнений (3..5) и (3.6):

c₁´(х)у₁(х) + с₂'(х)у₂(х) = 0,

с₁´(х)у₁'(х) + с₂'(х)у₂'(х) = f(x) (3.7)

Определитель данной системы не равен нулю, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у₁(х) и у₂(х) уравнения (3.3).

Поэтому система (2.2.9) имеет единственное решение: с₁´(х) = φ(x) и с₂'(х) = φ₂(x), где φ(x) и φ₂(х) — некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с₁(х) и с₂(х), а затем по формуле (3.4) составляем частное решение уравнения (3.1).

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Соответствующее однородное уравнение будет Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни ₁= -i, ₂= i и общее решение однородного уравнения имеет вид:

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

(А)

где C₁ (x) и C₂ (x) – неизвестные функции от x. Для их нахождения составим систему:

Разрешаем эту систему относительно и :

Откуда интегрированием находим:

Подставляя выражения C₁(x) и C₂(x) в (А), получим общий интеграл данного уравнения

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.