1.6 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

М(х,у)dх + N(x,y)dy = 0 (6.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.

Для того, чтобы уравнение (6.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

Если U(x,y) известна, то все решения уравнения (6.1)

удовлетворяют условию U(x,y) = С. где С - произвольная постоянная. Чтобы, найти функцию U(x,у) воспользуемся равенствами

(6.2) Интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции:

Дифференцируя (6.3) по у с учетом второго из равенств (6.2), получаем уравнение для определения функции (у):

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получается легко интегрируемая комбинация.

Например, уравнение ( х³ + ху²) dx + (х²y+у³) dy = О можно записать в виде

или

Следовательно,

общий интеграл уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

(sin xy + xy cos xy)dx + x² cos xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем

т. е.

Условие (2) выполнено. Далее

так что или

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

(2)

Р е ш е н и е. Здесь , , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение легко привести к виду du=0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Здесь

,

Поэтому уравнение (2) можно записать в виде

или

(2)

Следовательно,

есть общий интеграл уравнения (2), а значит и уравнение (2).

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1) не является полным дифференциалом, удаётся подобрать функцию  (x, y), после умножения, на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал

(4)

Такая функция  (x, y) называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем

или ,

откуда

. (5)

Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнения в частных производных.

Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (5), т. е. найти интегрирующий множитель.

1.  =  (x). Тогда и уравнение (5) примет вид

. (6)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функцией только x. В таком случае ln  найдётся интегрированием по х.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

(x + y²) dx – 2xy dy = 0.

Р е ш е н и е. Здесь

M = x+y², N = - 2xy.

Имеем

.

Следовательно,

, , .

Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде

.

Откуда

и общий интеграл данного уравнения есть

.

2. Аналогично, если есть функция,

зависящая только от y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель

 =  (y), зависящий только от y.