2.Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1.Основные понятия и определения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде

F(x,y,y',y",...,y⁽ⁿ⁾) = 0. (1.1)

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.1) называется задача отыскания решения у=у(х), удовлетворяющего начальным условиям

(1.2)

Пусть уравнение (1.1) разрешимо относительно старшей производной

(1.3)

тогда для него справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные, то для каждой точки существует и притом единственное решение у=у(х) уравнения (1.3), удовлетворяющее условиям (1.2).

Общим решением уравнения (1.1) называется такая функция у=(х,С₁,....,С_n), которая при любых допустимых значениях параметров С₁,...,Сn, является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (1.2) найдутся постоянные, определяемые из системы уравнений:

Для уравнения порядка n2 частное решение может быть задано с помощью условий не в одной точке, а в нескольких, естественно общее число условий должно быть равно порядку уравнений. Такие условия называют граничными или краевыми.

Основным методом интегрирования уравнений старших порядков является понижение порядка, что бывает целесообразно, даже если полученное уравнение не интегрируется в квадратурах. Рассмотрим основные типы уравнений, допускающие понижение порядка.

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Простейшим типом уравнений, допускающих понижение порядка, являются неполные уравнения, т.е.уравнения вида

Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием. После n-кратного интегрирования получаем общее решение

Уравнение не содержит искомой функции и её производных до порядка k-1 включительно:

Порядок уравнения можно понизить заменой переменных Тогда уравнение примет вид

Из этого уравнения, если это возможно, определяем , а затем находим y из уравнения k-кратным интегрированием.

Уравнение не содержит независимого переменного

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этом p рассматривается как новая неизвестная функция от y: p = p(y). Выражаем все производные через производные от новой неизвестной функции p по y:

- 40 -

и т. д.

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)-го порядка.

Пример 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Имеем

, откуда p² = y⁴ + C₁ или

Разделяя переменные, приходим к интегралу Это интеграл от дифференциального бинома. Здесь m = 0, n = 4, , т. е. неинтегрируемый случай.

Следовательно, этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако, если использовать начальные условия, то получим C₁ = 0. Так что , откуда, учитывая начальные условия, окончательно находим .

Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Р е ш е н и е. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем

Пример 3. Решить уравнение

.

Р е ш е н и е. Данное уравнение не содержит искомой функции y и её производной, поэтому полагаем . После этого уравнение примет вид.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Заменяя p через , получим

Интегрируя последовательно, будем иметь

и или