1.4. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка, допускающие представление в виде
=
f(x)g(t)
называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид
К уравнениям с разделяющимися переменными могут быть приведены и уравнения вида Х= f(at + bx). Вводя замену z=at+bx. Получим
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(4.2)
часто принимаемое в первом приближении при исследовании различных процессов. Уравнение выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна самой функции. При k>0 уравнение (4.2) описывает процесс размножения бактерий в питательной среде - закон органического роста, характерный для всевозможных цепных реакций. К такой же модели приводит задача о нарастании вклада в сберегательной кассе. При k<0 уравнение (4.2) описывает процесс радиоактивного распада, падения атмосферного давления с высотой, процесс разрядки конденсатора через сопротивление и др. Разделяя переменные, находим у = Сеkx. Решение, удовлетворявшее начальным условиям уо= у(хо), имеет вид у=yоek(x-xo). При k>0 формула показывает экспоненциальное нарастание величины у. При к<0 экспоненциальное убывание. Таким образом, решение уравнения (4.2) позволяет полностью охарактеризовать изучаемый процесс.
Пример1. Найти общий интеграл уравнения
(3+ех)уу’=ех
Реш ение.
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными
Разделяем переменные
Интегрируя левую часть этого уравнения по у,а правую по х, получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду
или
М(x,y)dx
+ N(x,y)dy
= 0,
где М(x,y) и N(x,y) – однородные функции одного порядка, т.е. существует такое m, что
M(tx,ty) = tmM(x,y) и N(tx,ty) = tmN(x,y).
С помощью подстановки y=tx, где t=t(x), однородные уравнения преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными. К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
Если
то
полагая x = u
+ , y
= v +
(постоянные и
определяются из системы уравнений
a1+b1+c1=0,
a2+b2+c=0),
получим однородное дифференциальное уравнение относительно
переменных
u и v. При
получим уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример 1. Решить уравнение
.
Р е ш е н и е. Запишем уравнение в виде
.
Так как уравнение однородное, то положим
или y = ux.
Тогда
.
Подставляя в уравнение выражение для
y и
,
получим
.
Разделяем переменные:
.
Отсюда интегрированием находим
(С1 > 0) или
.
Так как
,
то обозначая
,
получим
,
где
или
.
Заменяя u на
,
будем иметь общий интеграл:
.
Отсюда общее
решение будет:
.
При разделении переменных мы делили
обе части уравнения на произведение
,
поэтому могли поте
решения,
которые обращают в нуль его сомножители.
Положим теперь x = 0 и
.
Но x = 0 не является
решением уравнения, а из второго получаем,
что
,
откуда
.
Непосредственной проверкой убеждаемся,
что функции y = - x
и y = x
являются решениями уравнения. Функции
y = - x
и y = x
являются особыми решениями данного
уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
.
(1)
Р е ш е н и е. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
.
Определитель этой систем:
.
Система имеет
единственное решение
,
.
Делаем замену
,
.
Тогда уравнение (1) примет вид
(2)
Уравнение
(2) является однородным уравнением.
Полагая
,
получим
( + u)d + ( - u )( du + u d) = 0
Откуда
(1 + 2u – u2)d + (1 - u)du = 0.
Разделяем переменные
.
Интегрируя, найдём
;
.
Возвращаемся к переменным x, y:
или
.
Пример 3. Решить уравнение
.
Р е ш е н и е. Система линейных алгебраических уравнений
несовместна. Определитель системы
В этом случае метод, применённый в предыдущем примере, не проходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку
x + y = z, dy = dz – dx.
Уравнение примет вид
(2 – z)dx + (2z – 1)dz = 0.
Разделяя переменные, получим
.
Отсюда
.
Возвращаясь
к переменным x, y
получим общий интеграл данного
уравнения
.
1.5. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
Уравнения вида
y(х) + а(х)у(х) + b(х)=0 (5.1)
называются линейными уравнениями первого порядка. При b(х)=0 уравнение (5.1) называется однородным уравнением. Существует несколько методов решения этого уравнения. Метод вариации произвольных постоянных заключается в следующем. Решение однородного уравнения представляется, очевидно, формулой
Решение уравнения (5.1) находят в виде
( 5.2)
Подставляя (5.2) в (5.1), получаем уравнение
Откуда
и, следовательно, общее
решение уравнения (5.1)
имеет вид
(5.3)
Чаще используется метод Бернулли. В этом случае решение находят в виде у(х) = u(x)v(x). Подставляя в уравнение, получим
Выберем теперь
v так, чтобы
т.е.- v(x)=
- решение однородного уравнения.
Функцию u(х) определяем ив оставшегося уравнения
т.е.
Откуда, u(х) =
С +
Перемножая функции u(х) и
v(x), приходим
к (5.3).
Нелинейное уравнение
сводится к линейному, если переменную х рассматривать как функцию аргумента у:
К линейным приводятся и уравнения Бернулли
у'+а(х)у = b(x)yn, (n 0,1)
заменой х = у1-n. Однако решение уравнения Бернулли удобнее
искать в виде у = uv, не приводя к линейному. Уравнение Рикатти
у'+ а(х) у + b(х) у2 = с(х)
в общем случае не интегрируется в квадратурах. Но если известно одно частное решение у = у(х), то заменой у = у + z уравнение Рикатти сводится к уравнению Бернулли. Частное решение иногда можно подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения.
Например, для
уравнения у'+у=2/х2 будем искать у
в вида у=k/х. Подставляя в
уравнение, находим k=-1 и
k=2. Замена у =
z-1/х приводит исходное
уравнение к уравнению Бернулли
.
Окончательно,
и
– особое решение, существование которого является следствием нарушения непрерывности в правой части уравнения при х=0.
Пример 1. Решить уравнение
.
Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y:
Ищем общее решение данного уравнения в виде
.
Имеем
.
Подставляя x и
в уравнение, найдём
.
Функцию v (y) найдём из условия
.
Берём любое частное решение этого
уравнения, например,
.
Тогда
.
Откуда
.
Следовательно, общее решение будет
.
Пример 2. Решить уравнение Бернулли:
.
Р е ш е н и е. Положим . Тогда будем иметь
.
Функцию v(x)
найдём как частное решение уравнения
.
Имеем
.
Тогда
.
Откуда, разделяя переменные и интегрируя,
получим
,
таким образом,
.
Так что общее решение уравнения имеет вид
.
Пример 3. Найти решение задачи Коши
y’+y=xy2 , y(0)=1
Решение
Уравнение Бернулли будем интегрировать с помощью подстановки y=uv. Тогда y’=u’v+uv’ .И после подстановки первоначальное уравнение примет вид:
u’v + uv’ +uv = xu2v2
u’v + u(v’ +v) = xu2v2 (*)
Приравняем к нулю выражение стоящие в скобках
Из общего решения выберем одно частное уравнение v=e-x
Подставляя v в уравнение (*) , получим новое уравнение
Это уравнение явл. уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его
Следовательно, общее решение первоначального уравнения
Для того, чтобы найти С, воспользуемся начальным условием.
Окончательное решение задачи Коши
Или после
сокращения на
