1.3. Метод изоклин
Рассмотрим более подробно применение геометрического подхода к построению решений дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение
y’ = f(x, y) (3.1)
определяет в каждой точке (x, y), где существует функция f(x, y), значение y’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке.
Если в каждой точке области D задано значение некоторой величины, то говорят, что в области D задано поле этой величины.
Таким образом, дифференциальное уравнение (3.1) определяет поле направлений.
Тройка чисел (x, y, y’) определяет направление прямой, проходящей через точку (x, y). Совокупность отрезков этих прямых дает геометрическую картину поля направлений.
Задача интегрирования дифференциального уравнения (3.1) может быть теперь истолковано так: найти такую прямую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.
Задача построения интегральной кривой часто решается с помощью метода изоклин. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным прямым имеют одно и тоже направление. Семейство изоклин дифференциального уравнения (3.1) определяется уравнением
f(x, y) = k, (3.2)
где k – параметр. Строя достаточно густую сеть изоклин, т.е. давая k близкие числовые значения, мы можем достаточно точно построить интегральную кривую дифференциального уравнения (3.1).
З а м е ч а н и е 1. Нулевая изоклина f(x, y) = 0 дает уравнение линий, на которых могут располагаться точки максимума и минимума интегральных кривых. Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба. Для этого находят y’’ в силу уравнения (3.1)
и приравнивают ее нулю. Линия, определяемая уравнением
и есть геометрическое место точек перегиба, если они существуют.
З а м е ч а н и е 2. Точки пересечения двух или нескольких изоклин являются особыми точками дифференциального уравнения (3.1), так как. в них направление интегральных кривых становится неопределенным.
Например, рассмотрим уравнения
.
семейство изоклин определяется уравнением
.
Это семейство прямых, проходящих через
начало координат, т. е. В начале координат,
пересекаются изоклины, отвечающие
различным наклонам касательных к
интегральным кривым. Не трудно убедится,
что общее решение данного уравнения
имеет вид
y = Cx и точка (0, 0) является особой точкой дифференциального уравнения. Здесь изоклины являются интегральными кривыми уравнения (рис. 2).
Пример 1. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения y’ = 2x – y.
Р е ш е н и е. Для получения уравнения изоклин положим y’ =k (k = const). Имеем
2x – y = k или y = 2x – k.
рис. 2
Изоклинами являются параллельные прямые. При k=0 получим изоклину y = 2x. Эта прямая делит плоскость XOY на две части, в каждой из которых производная y’ имеет один и тот же знак (рис. 3).
Интегральные кривые, пересекая прямую y = 2x, переходят из области убывания функции y(х) в область
возрастания, и наоборот, а значит, на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, именно точки минимума.
Возьмем еще две изоклины:
k = -1, y = 2x +1 и k = 1, y = 2x – 1.
Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами k = -1 и k = 1, образуют с осью OX углы в 135о и 45о соответственно. Найдем далее вторую производную
y’ = 2 – y’ = 2 – 2x +y.
Прямая y = 2x –2, на которой y’’ = 0, является изоклиной, получаемой при k =2, и в тоже время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения f(x, y) = 2x – y удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости XOY, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина y = 2x, на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной y = 2x – 2, а по этому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины y = 2x – 2, не имеют точек экстремума.
Прямая y = 2x – 2 делит плоскость XOY на две части, в одной из которых ( расположенной над прямой ) y>0, а значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, а в другой y” <0 и значит, интегральные кривые обращены вогнутостью вниз. Так как. интегральные кривые не пересекают прямой y = 2x – 2, то она не является геометрическим местом точек перегиба. Следовательно, интегральные кривые данного уравнения не имеют точек перегиба.
Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис. 3).
Рис.3
Рассмотрим простейшие и наиболее распространенные в приложениях случаи, когда уравнение (3.1) интегрируемо в квадратурах.