1.2.Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является функция одного независимого переменного, причем в уравнения входят производные различных порядков. В самом общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение может быть записано так:

Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения. Решением уравнения (2.1) называется функция у=ф(х), обращающая это уравнение в тождество. График решения на плоскости ХОУ называется интегральной кривой, процесс нахождения решений – интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, входящей в состав уравнения, может быть записано в виде

( 2.1)

где f(t,x) – известная функция, определенная в некоторой области D плоскости t,x. Уже на простейших примерах видно, что любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений. Описать совокупность всех решений позволяет теорема существования и единственности.

Теорема. Если функция f(t,x) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D переменных t,x, содержащей точку (t_o,X_o), то существует единственное решение этого уравнения, х=ф(t), удовлетворяющее условию X(t_o)=X_o.

Условие X(t_o)=X_o называется начальным условием, а задача отыскания решения дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющего начальному условию – начальной задачей или задачей Коши.

Геометрически теорема существования и единственности означает, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная кривая, имеющая в каждой своей точке касательную, целиком принадлежащую области D.

Геометрическая интерпретация самого уравнения (3.1) дает поле направлений в области D, которое получается, если через каждую точку (t,x), принадлежащую области D, провести отрезок l_tx малой длины с угловым коэффициентом f(t,x). Любая интегральная кривая в каждой своей точке касается отрезка l_tx.

На рисункe1 представлено поле направлений уравнения Риккати х'= t²+x², неразрешимого в квадратурах. Рисунок 1 позволяет ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые.

Рис.1

Общим решением дифференциального уравнения (3.1) называется функция Х=Ф(t,C), зависящая от одной произвольной постоянной С, удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любом С и такая, что при любом начальном условии X(t_o) = Х_о существует значение С=С_о что Х =Ф(t,C_o) удовлетворяет начальному условию.

Равенство вида Ф(x,t,C)=0, неявно задающее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным решением называется любая функция у=ф(х,С_о), получающаяся из общего решения при С=С_о. Соотношение Ф(x,t,C_o) = О называется частным интегралом.

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение

не может быыть получено из общего решения с помощью подбора числа С.

Геометрически особая интегральная кривая - это огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемого его общим интегралом, т.е. кривая которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства.