4.2. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия, определения

Р

ассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

dx/dt=f(t,x); (2.1)

где функция f(t,х) определена и непрерывна для и х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную f/х. Пусть функция есть решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию Пусть, далее, функция x=x(t) есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию Предполагается, что решения (t) и x(t) определены для всех tto, т. е. неограниченно продолжаемы вправо.

Определение. Решение x=(t) уравнения (5.5) называется устойчивым по Ляпунову при ,если для любого >0 существует =()>0 такое, что для всякого решения x=x(t) этого уравнения из неравенства

(5.6)

следует неравенство

5.7

для всех tto (всегда можно считать, что ).

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению х=(t), остаются близкими и при всех tto.

Г еометрически это означает следующее. Решение x=(t) урав­нения (5.5) устойчиво, если, какой бы узкой ни была -полоска, содержащая кривую х=(t), достаточно близкие к ней в начальный

момент t=to интегральные кривые x=x(t) уравнения цели­ком содержатся в указанной -полоске при всех tto (рис.2).

Е

Рис. 4

сли при сколь угодно ма­лом 6>0 хотя бы для одного решения x=x(t) уравнения (5.5) неравенство (5.7) не выполняется, то решение х=(t) этого уравнения называется неустой­чивым.

Неустойчивым следует счи­тать и решение, не продолжаемое вправо при .

Определение 5.2. Решение x=(t) уравнения (5.5) назы­вается асимптотически устойчивым, если

1) решение х = (t) устойчиво,

2) существует 6₁>0 такое, что для любого решения x=x(t) уравнения (5.5), удовлетворяющего условию , имеем

Это означает, что все решения x=x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению x=(t), не только остаются близкими к нему при t  to, но и неограниченно сближаются с ним при . Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения, положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возра­станием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотиче­ски устойчивым.

Пример.1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х0 уравнения.

dx/df=0. (*)

Решение х0, очевидно, удовлетворяет начальному условию . Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию , имеет вид хх₀. Легко видеть (рис. 5),

Рис. 5

что, какова бы ни была -полоска вокруг интегральной кривой х=0, существует >0, например =, такое, что любая интегральная кривая х=х₀, для которой | х₀-0 | <, целиком содержится в указанной -полоске для всех tto. Следовательно, решение х0 устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку пря­мая х=х₀ при не стремится к прямой х=0.

Рис. 6

Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х0 уравнения

dx/dt=-a²x (a==const), (1)

решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию , имеет вид

Возьмем любое >0 и рассмотрим разность решений х(t) и (t)0:

(***)

Поскольку для всех tto, из выражения (***) следует, что существует >0, например =, такое, что при |x₀-0|<=. имеем

С огласно определению (5.1) это означает, что решение (t)0 уравнения (**) устойчиво.

Кроме того, имеем

Рис. 7.

поэтому решение (t)0 асимптотически устойчиво (рис. 6).

Пример 5.3. Показать, что решение (t)0 урав­нения

dx/dt=a²x

неустойчиво.

В самом деле, при сколь угодно малом решение этого уравнения не удовлетворяет условию при достаточно больших t>to. Более того, при любых x₀0 имеем (рис. 7)

. .

Р

5.8

ассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции h определены для из некоторой области D изменения и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (5.8) неограниченно продолжаемы вправо при .

Определение. Решение системы (5.8) называется устойчивым по Ляпунову при для любого >0 существует =()>0 такое, что для всякого решения х_i(t) (i=l, 2,..., n) той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам:

выполняются неравенства

5.9

для всех tt₀ близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех tt₀.

Если при сколь угодно малом >0, хотя бы для одного решения x_i(t), i==l, 2, ..., n, неравенства (5.9) не выполняются, то решение _i(t) называется неустойчивым.

Определение. Решение _i(t), I = 1, 2, ..., n, системы (5.8) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво,

2) существует i> 0 такое, что всякое решение x_i(t), i =1, 2,..., n, системы, для которого

удовлетворяет условию

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим например, уравнение dx/dt=1. Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию x(o)=o, является функция (t)=t. Решение, удовлетворяющее начальному условию х(0)=x₀, имеет вид x(t)=t+x₀. Геометрически очевидно (рис. 8), что для всякого >0 существует >0, например =, такое, что любое решение х(t) уравнения, для которого верно неравенство |x₀-0|< удовлетворяет условию | х(t) - t|< t0.

Рис.8 Рис. 9

Последнее означает, что решение (t)=t устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при .

И

5.10

з ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений. Рассмотрим уравнение

dx/dt= sin² x.

О

5.11

но имеет очевидные решения

x= , =± 1, ± 2. ....

и

5.12

нтегрируя уравнение (5.10), находим ctg х = ctg x₀ - t или

х= arcctg (ctg x₀ – t), x.

Все решения (5.11) и (5.12) ограничены на ( .) Однако решение (t)0 неустойчиво при . так как при любом имеем (рис. 9).

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.