4.Элементы теории устойчивости

4.1. Предварительные замечания

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных.

(1.4)))1)

x(t₀)=x₀

Если функция f(t,x) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную дf/дх в некоторой области  изменения t, x, содержащей точку (t_о, x_o), то решение задачи Коши существует и единственно. Если изменять значения t₀ и x₀, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет при этом меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точ­ность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется мало пригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий

Т

4.3

еорема 4.1. Если правая часть f(t, x) дифференциального уравнения

dx/d t= f(t, x) (1.4)

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную дf/дх в некоторой области G изменения t, x, то решение x(t)==x(t, t_o, х_o), удовглетворяющее начальному условию x(t₀)=x₀, где (t_0,x₀)G, непрерывно зависит от начальных данных.

- 76 -

Иными словами, пусть через точку (t_0,x₀) проходит решение x(t)

уравнения (1.4), определенное на отрезке t, t₀(,) . Тогда

для любого >0 найдется такое 6>0, что при <, <

решение уоравнения (4.3), проходящее через точку , существует на отрезке [,] и отличается там от x(t) меньше чем на 

Аналогичная теорема справедлива и для системы

дифференциальных уравнений

При выполнении условий теоремы (5.1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [,] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке . Переход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А. М. Ляпуновым (см. работу «общественная задача об устойчивости движения» (Гостехиздат, 1980)).

- 77 -

Рассмотрим линейные системы, для которых решение существует для (глобальная теорема существования):

функции a_ij(t) и f_i(t) — непрерывны на . Для таких систем каждое решение существует на (неограниченно продолжаемо вправо) и единственно. Не все системы обладают таким свойством.

Н

)

апример, для скалярного уравнения

функция f(t, х)х² непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция х=/(1 - t) является решением задачи

dx/dt=x², x(0)=, >0.

Однако это решение существует только в интервале (- , 1/), зависящем от начального условия, и непродолжаемо на полуинтервал (- , 1/].

Уравнение (4.4) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

- 78 -