2 .5.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

y′′+py′+qy = f(x) (5.1)

где р и q — некоторые числа.

Будем искать общее решение уравнения (5.1) как сумму общего решения у соответствующего однородного уравнена и частного решения у' неоднородного уравнения. Частное решение урав­нения (5.1) может быть найдено методом вариации произвольных посто­янных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.1) существует бо­лее простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (5.1) имеет так называемый «специальный вид»:

1. f(x) = P_ne^αx или

2. f(x) = e^αx(Р_n(х) cosβx + Q_m(x)sinβx).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5.1) запи­сывают ожидаемую форму частного

решения с неопределенными коэф­фициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.1) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (5.1) имеет вид f(х) = Р_n(х)е^ах, где α € R, Р_n(х) — многочлен степени n. Уравнение (5.1) запишется в виде

y′′+ py′ + qy = Р_n(х) e^αx

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

у* = х^rQ_n(х)e^αx,

где г — число, равное кратности а как корня характеристического уравне­ния k² +pk + q = 0 (т.е. г — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения k²+pk + q = Q), a.Q_n(x) = А₀хⁿ + A₁x^n-1 +••• +A_n — многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами Ai (i = 1,2,...,n).

Случай 2. правая часть (5.1) имеет вид

f(x) = e^αx(Р_n(х) cosβx + Q_m(x)sinβx), где Р_n(х) и Q_m(x)

многочлены степени n, m соответственно, α и β действительные числа. Уравнение (5.1) запишется в виде

y′′+ py′ + qy = e^αx(Р_n(х) cosβx + Q_m(x)sinβx)

в этом случае частное решение у*нужно искать в виде

у* = xr e^αx(Mi(х) cosβx + N_n(x)sinβx)

где r – число, равное кратности α + βi как корня характеристического уравнения к²+ pк + q =0 Mi(х) и Ni(x) – многочлены степени l c неопределёнными коэффициентами, l – наивысшая степень многочленов Р_n(х) и Q_m , т.е. l = max(n, m).

Пример1. Найти частное решение уравнения

y′′+ 2y′ + y= cosx

Решение. Характеристическое уравнение

k² +2k + 1 = 0

меет корни k₁ = k₂ = -1.В данном случае числа a±βi=± i не являются корнями характеристического уравнения, значит частное решение следует искать в виде

у* = M cosx + N sin x,

Подставляя функцию у* в уравнение и приравнивая коэффициенты отдельно при косинусах и при синусах , находим М=0, N=0,5, следовательно, у* = 0,5 sin x .

Пример2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения состоит из двух частей - общего решения соответствующего однородного уравнения и - частного решения самого уравнения.

Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, общее решение однородного уравнения

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Будем искать частное решение в виде

Подставим и в исходное уравнение и получим 4А+3(Аx+B)=x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

Пример 3.Найти вид частного решения уравнения

y′′-2 y′+у =х e^x

Решение. Характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0

имеет корни условию k₁ = k₂ = 1. В данном случае число a=1 является двукратным корнем характеристического уравнения, значит частное решение следует искать в виде

у* = х^r e^αx(Ах+В).