2.3.8 Уравнение переноса в безразмерной форме

Уравнения переноса, записанные в безразмерной форме, в качестве коэффициентов содержат критерии подобия, которые используются при обработке опытных данных и для написания различных полуэмпирических зависимостей.

Рассмотрим уравнение конвективного переноса субстанций в виде

.

В случае одной пространственной переменной оно запишется так:

. (48)

введем характерные для системы значения потенциала переноса , времени и характерный размер системы . Характерная (характеризующая) величина - это величина наиболее удобная и показательная для характеристики данной системы (процесса). Например, при течении жидкости в протяженной трубе - это ее диаметр, при течении вдоль плоской стенки - ее длина, при обтекании сферы - ее диаметр.

Получим безразмерные переменные: , , ,

подставим их в уравнение (48):

.

Константы , , вынесем за знак производной, затем сократим все члены уравнения на : .

Разделим последнее уравнение на , получим безразмерную запись уравнения переноса .

Обозначим , , тогда

. (48')

граничное условие III рода для исходного уравнения (48) запишем в виде

, (49)

здесь  - толщина пограничного слоя, b_ - коэффициент либо теплоотдачи, либо массоотдачи.

Соотношение (40) в безразмерной форме запишется так:

,

или .

Обозначим , тогда . (49')

Критерии подобия K₁, K₂, K₃ для процессов переноса массы, теплоты и импульса приведены в таблице

Процесс	Коэффи-циент переноса k
Перенос массы	Коэффи-циент диффузии D	диффузи-онный критерий Фурье	диффузи-онный критерий Пекле	критерий Шервуда	критерий Льюиса
Перенос теплоты	Коэффи-циент температу-ропровод-ности a	критерий Фурье	критерий Пекле	критерий Нуссель-та	критерий Шмидта
Перенос импуль-са	Коэффи-циент кинемати-ческой вязкости 	критерий Струхаля	критерий Рейноль-дса	-	критерий Прандтля

Когда вместо коэффициента молекулярной диффузии D используется эффективный коэффициент диффузии D_э (например, при описании массопереноса в пористых телах), критерий K₃ называется критерием Био: .

2.3.9 Моделирование процесса переноса в турбулентном потоке

Как уже говорилось, процессы переноса в турбулентном потоке чрезвычайно сложны. Теория турбулентности до сих пор не позволяет получить строгие количественные результаты. Поэтому пользуются либо эмпирическими зависимостями, либо упрощенными моделями.

Первой такой моделью была пленочная модель Нернста - Лэнгмюра. По пленочной модели пограничный слой рассматривают как неподвижную пленку, имеющую толщину ; пленка прилегает к поверхности и отделяет ее от ядра потока, где концентрация (или температура) полностью выравнена по сечению. Профиль концентрации, соответствующий пленочной модели, показан на рис. 6.

Рис. 6 Профиль концентраций в соответствии с пленочной моделью.

Введем обозначения: с_я - концентрация вещества в ядре потока; с_ст - концентрация на стенке (при r = ± R, и применим уравнение (8)). Учтем также, что в пленке D=сопst, поскольку нет движения жидкости, а перенос только молекулярный. Следовательно

(50)

или

(51)

В уравнении (51) рассматривается только абсолютная величина потока, поскольку его направление ясно из физических соображений. В таком виде это обычнее уравнение массоотдачи, в котором коэффициент массоотдачи

(52)

Точно так же получается формула для коэффициента теплоотдачи

(53)

Дальнейшее развитие теории показало, что пленочная модель лишь весьма грубо отражает особенности переноса в пограничном слое. Прежде всего, пограничный слой нельзя считать ни неподвижным, ни резко отделенным от ядра потока. Турбулентные пульсации затухают постепенно. При этом важно, что толщина пограничного слоя зависит от интенсивности молекулярного механизма переноса.

Действительно, в качестве оценки толщины пограничного слоя можно принять расстояние от стенки, на котором конвективный перенос становится существенно больше молекулярного. Чем интенсивнее молекулярный перенос, тем, очевидно, дальше это произойдет, При данной степени турбулентности толщина пограничного слоя тем больше, чем больше интенсивность молекулярного переноса.

Отсюда следует: один и тот же поток может иметь разную толщину пограничного слоя в зависимости от того, что рассматривается - перенос количества движения, тепла или вещества. При исследовании переноса количества движения и распределения скоростей приходится говорить о гидродинамическом пограничном слое; при рассмотрении теплоотдачи и распределения температур - о тепловом пограничном слое; при анализе массоотдачи и распределения концентраций - о диффузионном пограничном слое. Соотношение толщин всех трех пограничных слоев зависит от значений критериев Прандтля. В газах, как мы говорили, Рг_Т  Рг_М  1 и все три диффузионных слоя имеют приблизительно одинаковую толщину. В капельных жидкостях Рг_Т = 10 - 10², а Рг_М = 10³ - 10⁶; тепловой пограничный слой много тоньше гидродинамического, а диффузионный - еще на несколько порядков тоньше.

Поэтому в потоках газов процессы переноса, как правило, проходят подобным образом; здесь существует интересное соотношение между коэффициентами, характеризующими гидравлическое сопротивление, тепло- и массоотдачу:

(54)

где С_Т - теплоемкость газа;  — его плотность; w - средняя скорость;  - коэффициент гидравлического сопротивления трения.

Таким образом, в газовых потоках массопередачу можно моделировать теплопередачей или трением; например, измерив гидравлическое сопротивление канала (если в нем отсутствуют местные сопротивления), можно предсказать, какова будет в нем интенсивность массообмена.

В заключение отметим следующее. Несмотря на грубость пленочной модели, формулы (52) и (53) вполне пригодны для относительной оценки толщин пограничных слоев. Как известно, такая оценка является одной из задач, решаемых с помощью критериев подобия. Подобие переноса в пограничном слое определяется критериями Нуссельта:

тепловым

(55)

и диффузионным

(56)

Уравнения (52) и (53) позволяют уяснить физический смысл обоих критериев Нуссельта

(57)

Критерий Нуссельта определяет соотношение между характерным размером системы и толщиной пограничного слоя.

И наконец, очень кратко упомянем о дальнейшем развитии моделей переноса. Здесь существует несколько направлений, из которых отметим два (оба направления рассмотрим применительно к наиболее сложному процессу - массопередаче).

Одно направление опирается на следующую модель пограничного слоя. Представим себе, что за счет турбулентной пульсации скорости частица жидкости выходит из ядра потока в пограничный слой. Она приносит с собой «свежую» жидкость, концентрация в которой соответствует концентрации в ядре. В результате начинается интенсивная диффузия между этой частицей и стенкой, причем диффузия нестационарная: за счет диффузии концентрация в частице меняется во времени.

Пробыв некоторое время в пограничном слое, частица уходит обратно в ядро потока, вытесняемая «свежей» частицей, - процесс повторяется. Эта модель получила название модели пенетрации (проникновения, внедрения). Правда, исследования последнего времени показывают, что предпосылки пенетрационной модели, как правило, не выполняются, но этот вопрос еще продолжает дебатироваться.

Другое направление исходит из анализа закона, по которому происходит затухание турбулентных пульсации по мере приближения к стенке. Развитие исследований в этом направлении затрудняется тем, что прямое измерение пульсации в пограничном слое в большинстве случаев невозможно: для этого он слишком тонок. Приходится опираться на косвенные расчеты.

Еще одна трудность возникает при анализе массообмена между газом (паром) и жидкостью. Газ тормозится о поверхность жидкости так же, как о твердую стенку, и механизм образования в нем пограничного слоя не вызывает сомнений. Но трение жидкости о газ намного слабее, чем трение внутри жидкости. В пленке жидкости, граничащей с газом, максимальная скорость устанавливается именно на границе. Тем не менее, и в жидкости образуется пограничный слой. Механизм его образования пока не вполне ясен: видимо, основную роль здесь играют силы поверхностного натяжения.

На основе этих уравнений составляются математические модели для процессов и аппаратов химической технологии. Описание основных процессов проходят в курсе ПАХТ. В данном пособии далее будет приведено описание математического моделирования полимеризационных процессов и так называемых совмещенных процессов химической технологии.