2.3.3 Уравнение переноса теплоты

Чтобы из общего уравнения переноса (27) получить уравнение переноса теплоты, надо использовать и градиентный закон Фурье (19):

, (32)

здесь _t характеризует изменения объемной плотности распределения источников или стоков тепловой энергии.

Так как дивергенция алгебраической суммы равна сумме дивергенций слагаемых, то уравнение (32) можно преобразовать к виду

. (32')

Уравнение переноса теплоты в виде (32') сложно для использования из-за его нелинейности, поэтому в инженерных расчетах вводят упрощающие предположения о постоянстве плотности и теплоемкости: =const, с_р=const, а также считают _t=0. Тогда уравнение (32') упростится

. (33)

Так как плотность постоянна, жидкость несжимаемая. Чтобы получить уравнение переноса теплоты в потоке несжимаемой жидкости ( ), раскроем дивергенцию от ( ) в уравнении (33) , тогда получим уравнение

. (34)

Если =const, то , и учитывая, что , получим:

, (35)

(35) - дифференциальное уравнение конвективного переноса теплоты или уравнение Фурье-Кирхгофа.

Уравнение теплопроводности в неподвижной среде получается из уравнения (35) при :

, (36)

(36) - уравнение Фурье, оно описывает распределение температур в неподвижной среде. Коэффициент температуропроводности а характеризует теплоинерционные свойства среды.

2.3.4 Уравнение переноса массы

Рассмотрим движение среды, являющейся взаимодействующей смесью n компонентов.

Подставляя , и в общее уравнение переноса (27), получим систему уравнений конвективного массопереноса для компонентов смеси:

. (37)

Введем среднемассовую скорость движения смеси как скорость движения центра масс компонентов смеси:

,

тогда уравнения (37) можно преобразовать так:

. (37')

Вектор представляет собой плотность потока относительного переноса i-го компонента смеси, связанного с отклонением локальной скорости движения компонента от среднемассовой скорости движения смеси. Используя , запишем уравнения (28') в виде

. (37'')

Предположение о том, что плотности потоков , подчиняются первому закону Фика ( ), позволяет преобразовать уравнения (37'') к виду

. (38)

(38) - уравнения конвективной диффузии компонентов смеси.

Если рассматриваемая смесь представляет собой несжимаемую среду , в которой отсутствуют источники массы , тогда уравнения (38) упрощаются:

. (39)

Для описания массопереноса в неподвижной среде ( ) при , получим уравнения молекулярной диффузии компонентов смеси:

. (40)

Уравнение (40) получило название - второй закон Фика, оно описывает распределение концентрации i-го компонента в неподвижной среде в любой момент времени.

Коэффициент молекулярной диффузии характеризует способность i-го компонента проникать вследствие диффузии в неподвижную среду. Он зависит от природы диффундирующего вещества и среды, от температуры, давления, но не зависит от гидродинамических условий в аппарате.

Коэффициент диффузии является аналогом коэффициента температуропроводности а, уравнение конвективной диффузии вещества по структуре аналогично уравнению конвективного переноса теплоты.