2.3.2 Основное уравнение переноса субстанций

Вывод общего уравнения переноса может быть проведен разными способами. Однако основной идеей всех подходов является рассмотрение балансовых соотношений для ограниченной пространственной области.

Пусть в рассматриваемой области существует неоднородное физическое поле - распределение потенциала переноса , где ,  -время.

В случае переноса массы в качестве потенциала переноса рассматривают плотность  или концентрацию с_i:

или ,

где m_i - масса i - го компонента смеси.

При переносе энергии (теплоты) потенциалом переноса является энтальпия единицы объема жидкости:

,

с_р - теплоемкость жидкости; t - температура.

В случае переноса импульса потенциалом переноса является импульс единицы объема жидкости

.

Неоднородность распределения потенциала переноса приводит к отклонению системы от состояния термодинамического равновесия и возникновению потоков переноса.

В рассматриваемой области может происходить макроскопическое движение вещества, которое характеризуется полем скоростей . Источники или стоки потенциала переноса, имеющиеся в рассматриваемой области, характеризуются объемной плотностью притока .

Выделим конечный объем V, ограниченный поверхностью S (для обозначения области и ее объема используется одна буква V; для обозначения поверхности и ее площади используется одна буква S). Перенос потенциала  через поверхность S складывается из переноса за счет макроскопического движения вещества (конвективный перенос) и переноса, связанного со стремлением системы к термодинамическому равновесию (молекулярный перенос).

Молекулярный перенос является определяющим в неподвижных средах и описывается следующими градиентными законами.

Для переноса массы - первым законом Фика

, (18)

где D_i - коэффициент молекулярной диффузии i-го компонента.

Для переноса энергии (теплоты) - законом Фурье

, (19)

где  - коэффициент теплопроводности.

Если c_p=const, =const, то соотношение (19) можно преобразовать к виду

, (19')

где - коэффициент температуропроводности.

Для переноса импульса (с учетом закона внутреннего трения Ньютона):

, (20)

где - матрица, составленная из частных производных компонент скорости;  - коэффициент динамической вязкости.

Если =const, то уравнение (20) можно переписать так:

, (20')

где  - коэффициент кинематической вязкости.

Таким образом, процессы молекулярного переноса массы, энергии и импульса в жидкостях и газах описываются аналогичными соотношениями. Это связано со сходством физических явлений, лежащих в основе процессов переноса.

Соотношения (18), (19), (20) обобщенно можно записать так:

, (21)

где - коэффициент пропорциональности.

При конвективном переносе масса, энергия и импульс транспортируются веществом со скоростью , плотность конвективного потока субстанции через поверхность S выражается формулой:

. (22)

При молекулярном и конвективном переносе субстанции плотность потока складывается из двух составляющих

. (23)

Выделим на поверхности S, ограничивающей область V, элемент поверхности. Представим его площадь в векторной форме, умножив на единичный вектор нормали , направленный из области V:

.

Интегральная форма условия сохранения субстанции для области V имеет вид:

, (24)

где dv – элемент объема.

Уравнение (24) представляет собой баланс потенциала переноса в области V. Действительно, изменение потенциала переноса в области V, ограниченной поверхностью S,

возможно за счет потока потенциала переноса через поверхность S

и за счет образования или исчезновения потенциала переноса в области V

.

Знак минус перед первым слагаемым правой части уравнения (24) связан с противоположной ориентацией векторов и (вектор нормали элемента поверхности направлен из области V, а результирующий вектор равен разности плотностей потоков, входящего в область V и выходящего из нее, т.е. направлен внутрь области V).

По теореме Гаусса-Остроградского

. (25)