![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
5.2. Модель дуополии Курно
На рынке в течение производственного
периода функционирует две фирмы. Их
функции издержек являются линейными
функциями, т.е. имеют вид:
где
объём
выпуска первой фирмы,
объём
выпуска второй фирмы,
суммарный
выпуск обеих фирм (т.е. отраслевой
выпуск),
и
предельные
издержки фирм,
и
постоянные
издержки обеих фирм.
Функция, обратная к функции рыночного спроса, предполагается линейной и имеет вид
где
и
положительные
параметры. Тогда доход (выручка) у первой
фирмы равна
а у второй
Для прибыли каждой фирмы получаем
следующие выражения:
(5.13)
(5.14)
Из приведённых формул следует, что прибыль каждой фирмы зависит не только от объёма её собственного выпуска, но и от объёма выпуска другой (конкурирующей с ней) фирмы.
Далее все построения будут выполнены только для первой фирмы. Ряд результатов для второй фирмы выписывается по аналогии.
В соответствии с принятой предпосылкой
(первая фирма полагает, что выпуск
второй фирмы в рассматриваемом периоде
не меняется, т.е.
и, следовательно,
прибыль первой фирмы имеет вид
(5.15)
Аналогично, если вторая фирма полагает,
что выпуск первой фирмы в рассматриваемом
периоде не меняется, т.е.
(и, следовательно,
,
то прибыль второй фирмы имеет вид
Для решения задачи максимизации прибыли
следует сначала использовать условие
первого порядка
(выписанное с учетом равенства
),
откуда следует, что
(5164)
Отметим, что
Для прибыли условие второго порядка имеет вид
Таким образом, объём выпуска первой
фирмы, равный
(см. (5.4)), максимизирует её прибыль
в течение производственного периода,
если выпуск второй фирмы равен
.
Аналогично, если выпуск первой фирмы
равен
,
то выпуск второй фирмы, максимизирующий
ее прибыль
,
в течение производственного периода,
равен
.
(5.17)
На основании равенств (5.4) и (5.5) выписываем систему
,
линейных алгебраических уравнений, которая имеет единственное решение
,
которое позволяет переписать равенства (5.4) и (5.5) так
, (5.18)
, (5.19)
т.е. если
,
то
,
и если
,
то
.
Таким образом, выпуск
первой фирмы, максимизирует ее прибыль,
если вторая фирма имеет выпуск
,
который максимизирует ее прибыль при
условии, что первая фирма имеет выпуск
,
который максимизирует ее прибыль.
Естественно такую пару выпусков (
,
)
первой и второй фирм назвать равновесием
дуополии Курно или просто равновесием
Курно. Подробное пояснение этого
фундаментального понятия экономической
теории приведено в разделе 8.7 учебника
[].
Напомним, что изопрофита – это линия постоянной прибыли фирмы.
При объёме
выпуска первой фирмы её максимальная
прибыль равна
. (5.20)
Уравнение изопрофиты
имеет вид
или в развёрнутом виде
откуда следует, что
(5.21)
т.е. получили,
что уравнение изопрофиты
есть уравнение гиперболы, проходящей
через точку
У этой гиперболы одна вертикальная
асимптота
и одна наклонная, которая проходит через
точки
и
и которая имеет уравнение
(5.22)
(см. рис. 5.3).
В точке
изопрофита
имеет «шапочку» (см. рис. 5.3, т.е. самая
высокая точка каждой изопрофиты
первой фирмы расположена на линии
,
имеющей уравнение
.
Линию
можно назвать линией реакции первой
фирмы на выпуск второй фирмы, ибо эту
линию
заметают (от слова метла) все точки
,
первые координаты
которых равны выпуску, максимизирующему
прибыль первой фирмы, если первая фирма
полагает, что вторая фирма имеет
выпуск
.
Аналогично линия
,
имеющая уравнение
,
есть линия реакции второй фирмы на
выпуск первой фирмы.
На рис. 5.3 показаны две другие изопрофиты
первой фирмы, а также изопрофита
,
проходящая через точку
,
которая изображает равновесие
Курно. Очевидно,
.
Абсциссы
и
точек пересечения изопрофиты
с осью
находим, положив в уравнении (5.8) изопрофиты
Тогда получим квадратное уравнение
корни которого и получаем по известной формуле решения квадратного уравнения, которая после элементарных преобразований приобретает вид
(напомним, что
На основании формулы (5.13) имеем:
,откуда
следует, что с ростом
выпуска
второй фирмы максимальная прибыль
первой фирмы
убывает, т.е. чем выше изопрофита, тем меньшему значению прибыли первой фирмы она
соответствует.
Рис. 5.1
Рис.5.4
Если в приведённых рассуждениях первую и вторую фирмы поменять местами, то получим результаты, которые симметричны только что приведённым (см. рисунок 5.4).
Точку
естественно считать равновесием
дуополии, в котором прибыль первой фирмы
равна
,
и прибыль второй фирмы равна
В этом равновесии ни одной фирме в
одиночку
не выгодно менять объём выпускаемой
продукции, если другая фирма этого не
делает. Описанное равновесие есть
равновесие
Курно дуополии.
Оно представляет собой частный случай
равновесия
Нэша (см.
параграф 9.7
учебника []).
Равновесие
Курно – одна из первых реализаций
фундаментальной идеи экономического
равновесия.
Выражения для
прибыли
первой фирмы в равновесии Курно, для
прибыли
второй фирмы, для отраслевой цены
приведены в разделе 8.7.2 учебника
[]. Там же для
сравнения приведены значения этих
величин в условиях чистой конкуренции.
Рис.5.2РРис. 5.4