Лекции по теории вероятностей
.PDFИтого: есть ряд, составленный из вероятностей, сумма которого тоже есть вероятность и, следовательно, конечна. А из того, что ряд сходится, по замечанию 12 вытекает сходимость «хвоста» ряда к нулю. Осталось посмотреть на этот хвост и убедиться, что он равен как раз той вероятности, сходимость к нулю которой нам нужно доказать. Точно так же докажем и остальные свойства.
По замечанию 14, для доказательства lim F (x) = 1 достаточно доказать, что F (n) ! 1
x!1
ïðè n ! 1, èëè ÷òî 1 F (n) = P( > n) ! 0.
Представим событие f > 11g (например :-) как счетное объединение событий:
|
|
|
1 |
|
f > 11g = f11 6 < 12g [ f12 6 < 13g [ f13 6 < 14g [ |
i[ |
|
||
: : : = fi 6 < i + 1g: |
||||
|
|
|
=11 |
|
В силу -аддитивности вероятности, |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
X |
1; и, по замечанию 12, |
Xi |
< i + 1g ! 0: |
|
Pf > 11g = |
Pfi 6 < i + 1g 6 |
Pfi 6 |
||
i=11 |
Xi |
|
=n |
|
Íî |
|
|
|
|
Pfi 6 < i + 1g = Pf > ng = 1 F (n); |
|
=n
и сходимость F (x) к единице при x ! 1 доказана.
Доказательство свойства (F3).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно замечанию 14, достаточно доказать, что F x0 |
|
! F (x0) ïðè n ! 1. Èëè, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что то же самое, доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= P x0 |
n 6 < x0 |
! 0: |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
F (x0) F x0 n = P( < x0) P < x0 n |
(11) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Представим событие f < x0g как счетное объединение событий: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f < x0g = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 < x0 |
3 |
[ x0 3 6 < x0 4 |
[ : : : = |
||||||||||||||||||||||||||
= f < x0 1g [ x0 1 6 < x0 2 [ x0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f < x0 1g [ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 x0 i 6 |
< x0 i + 1 : |
||||||||||||||||||||||||||
|
В силу -аддитивности вероятности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Pf < x0g = Pf < x0 1g + i=1 |
P x0 i |
|
< x0 i + 1 6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i=n P x0 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поэтому снова |
|
|
i 6 < x0 |
i + 1 ! 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
i=n P x0 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Íî |
i 6 < x0 |
i + 1 |
= P x0 n 6 < x0 |
, и эта вероятность, как мы только |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что видели, стремится к нулю с ростом n. |
|
Тогда, по (11), F (x) ! F (x0) |
ïðè x ! x0 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(непрерывность слева). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40
Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.
Теорема 19. Если функция F : R ! [0; 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), òî
Fесть функция распределения некоторой случайной величины , то есть найдется вероятностное пространство h ; F; Pi и случайная величина на этом пространстве, что
F(x) F (x).
Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя ее можно попробовать доказать конструктивно
— предъявив то вероятностное пространство (проще всего отрезок = [0; 1] с -алгеброй боре-
левских множеств и мерой Лебега :-) и ту случайную величину, о существовании которых идет
речь. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдет ли
(!) = supfx : F (x) < !g.
Прочие полезные свойства функций распределения |
|
|||||||||||||||||
F4) В любой точке x0 |
разница |
F (x0+0) F (x0) равна |
P( = x0): |
|
||||||||||||||
F |
( |
x |
0+0) |
|
F |
( |
x |
|
lim |
F |
(x) |
|
F |
(x |
) = P( = x |
); |
или, иначе, |
|
|
|
|
|
0) = x!x0+0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||
F (x0+0) = |
|
lim |
F (x) = F (x0) + P( = x0) = P( 6 x0): |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x!x0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Упражнение 9. Докажите сами (точно так же, как мы доказывали (F2) è (F3)). |
||||||||||||||||||
Заметим, что разница |
F (x0+0) F (x0) между пределом при стремлении к x0 справа |
и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения, и равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке x0. Слева, напомню, функция распределения непрерывна всегда.
Следствие 4. Если функция распределения F (x) непрерывна в точке x0, òî
P( = x0) = 0:
F5) Для любой случайной величины имеет место равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a).
Если же функция распределения F (x) непрерывна (для любого x, или только в точках a и b), то
P(a 6 < b) = P(a < < b) = P(a 6 6 b) = P(a < 6 b) = F (b) F (a):
Доказательство. Доказывать нужно только равенство P(a 6 < b) = F (b) F (a), поскольку все остальные равенства следуют из него с учетом следствия 4. Напомню, что этим равенством мы уже много раз пользовались, доказывая свойства (F2), (F3).
Заметим, что f < ag [ fa 6 < bg = f < bg, и первые два события несовместны. Поэтому
Pf < ag + Pfa 6 < bg = Pf < bg;
или F (a) + Pfa 6 < bg = F (b), что и требовалось доказать.
41
Функция распределения дискретного распределения
Мы уже видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений.
Из свойств (F4), (F5) следует
Свойство 6. Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F — ступенчатая функция. При этом возможные значения — точки ai скачков F , è pi = P( = ai) = F (ai+0) F (ai) — величины скачков.
Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чем счетное число точек разрыва (или «скачков»). Указание. Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция распределения? А величиной более 1/3? Более 1/4?
В следующей главе мы рассмотрим случайные величины, функции распределения которых не удовлетворяют свойству 6 хотя бы потому, что они вовсе не имеют разрывов. Более того, мы выделим класс функций распределения, которые «восстанавливаются по своей производной» с помощью интегрирования (так называемые абсолютно непрерывные функции).
42
Раздел 8. Абсолютно непрерывные распределения
Определение 29.
Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что для любого x 2 R функция распределения F (x) представима в виде
|
x |
|
При этом функция f (x) называется плотностью |
|
F (x) = |
Z |
f (t) dt: |
||
распределения случайной величины . |
||||
|
1 |
|
|
Теорема 20.
Плотность распределения обладает свойствами:
|
1 |
(f1) f (x) > 0 для любого x; (f2) |
R1 f (t) dt = 1. |
Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности. Докажем (f2).
1 |
x |
ZZ
def |
lim |
f (t) dt = lim F (x) = 1 |
по свойству (F2) функций распределения. |
f (t) dt = |
|||
1 |
x!1 |
x!1 |
|
1 |
|
|
Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:
Лемма 3. Если функция f обладает свойствами (f1) è (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нем, для которой f является плотностью распределения.
Доказательство. Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f («подграфик» функции f). Площадь области равна 1 по свойству (f2). И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда (вспомнить геометрическую вероятность) для любого x 2 R
F (x) = P( < x) = P(точка попала в область Dx) = |
площадь x |
x |
f(t) dt; |
= Z |
|||
|
площадь D |
|
|
|
|
1 |
|
то есть f является плотностью распределения случайной величины .
43
Свойства плотностей
(f3) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее функция распределения всюду непрерывна.
x
R
Доказательство. Этот факт следует из представления F (x) = f (t) dt и непрерыв-
1
ности интеграла как функции верхнего предела.
Следствие 5. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то P( = x) = 0 для любого x 2 R.
(f4) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то ее
функция распределения дифференцируема почти всюду, и f (x) = F 0(x) = dxd F (x) для почти всех x.
Замечание 15. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры (длины)». Заметьте, что стоящую под интегралом функцию можно изменить в одной точке (или на множестве нулевой длины), и интеграл («площадь подграфика») от этого не изменится.
(f5) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то
P(a < < b) = P(a 6 < b) = P(a < 6 b) = P(a 6 6 b) = Za |
b |
|
f (t) dt: |
||
Доказательство. Действительно, P(a 6 < b) = F (b) F (a) = |
b |
a |
f (t) dt f (t) dt. |
||
|
1 |
1 |
Остальные равенства вытекают из следствия 5. |
R |
R |
8.1Примеры абсолютно непрерывных распределений
Равномерное. Это распределение нам уже знакомо. Говорят, что имеет равномерное распределение на отрезке [a; b], и пишут = Ua;b, åñëè
F (x) = P( < x) = |
8x a |
; a x b |
f (x) = |
8 |
1 |
|
; a x b |
|
||||
|
|
|
0; |
x < a; |
|
|
0; |
|
x < a; |
|
||
|
|
>b a |
6 6 |
|
>b a |
6 6 |
|
|||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
>1; |
x > b; |
|
|
>0; |
|
x > b: |
|
||
Заметьте, что в точках |
a |
è |
>b |
|
|
недифференцируема,> |
|
è ïëîò- |
||||
|
: функция распределения |
|
: |
|
|
|
|
ность можно задать как угодно.
Показательное. Говорят, что имеет показательное распределение с параметром ,
> 0 и пишут = E , если |
(1 e x; x > 0; |
|
( e x; x > 0: |
||
F (x) = P( < x) = |
f (x) = |
||||
|
0; |
x < 0; |
|
0; |
x < 0; |
44
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Теорема 21. Свойство «нестарения». |
Пусть = E . Тогда для любых x; y > 0 |
P( > x + y > x) = P( > y): |
|
Упражнение 10. Доказать «свойство |
нестарения». |
Упражнение 11. Доказать, что если неотрицательная случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение и обладает свойством «нестарения», то есть для любых x; y > 0
P( > x + y > x) = P( > y);
то она имеет показательное распределение с некоторым параметром .
Нормальное. Говорят, что имеет нормальное распределение с параметрами a и 2, где a 2 R, > 0, и пишут = Na; 2 , если имеет следующую плотность распределения:
|
1 |
|
|
(x a)2 |
|
|
|
|
2 2 |
||||
f (x) = |
p |
|
e |
|
|
для любого x 2 R: |
2 |
|
Убедимся, что f (x) действительно является плотностью распределения. Так как f (x) > 0 для всех x 2 R, то свойство (f1) выполнено. Проверим выполнение (f2). Используем табличный интеграл (интеграл Пуассона)
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
e x2=2 dx = p |
|
: |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
R |
R R |
|
|
|
|
|
||
Этот интеграл вычисляется так: |
R |
|
=2 dx |
|
2 |
|
= (цилин- |
|||||
1 e x2 |
1 e y2=2 dy = |
1 1 e (x2 |
+y2)=2 dx dy |
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 1 |
|
|
1 |
|
|
||
дрическая замена переменных x = r cos , |
y = r sin , dx dy |
= r dr d ) |
= |
|
2 |
=2 dr d = |
||||||
R R re r |
2 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
R0 |
e r |
=2 d(r2=2) d = 2 . |
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
(x a)2 |
|
Z |
f (x) dx = |
Z |
p2 |
e |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замена переменных |
|
|
|||||
dx = " t = |
x a |
, dx = dt |
# = |
|
|||
|
|||||||
1 |
|
p2 e |
t2=2 |
dt = p2 |
|||
= Z |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 0
1
Z
e t2=2 dt = 1:
1
Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса, см. график плотности на купюре 10 DM) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.
45
8.2Свойства нормального распределения
Нормальное распределение задается, как мы видим, с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции e x2 иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:
x |
|
|
|
(t a)2 |
|
F (x) = a; 2 (x) = Z |
p2 |
e |
|
dt: |
|
|
1 |
|
2 2 |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы часто будем использовать обозначение a; 2 (x) для функции распределения нормального распределения с параметрами a и 2.
Исключительно полезно нарисовать график плотности и функции распределения (отметив точки экстремума, перегибов, посчитав значение в точке максимума плотности и расстояние между точками перегибов). График плотности и функции распределения нормального распределения можно также посмотреть здесь: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/PlotDist.html.
Стандартное нормальное распределение
Нормальное распределение Na; 2 ïðè a = 0 è 2 = 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
f (x) = |
p2 |
e x |
=2 |
при любом x 2 R, а функция распределения 0;1(x) = |
x |
p2 |
e t =2 dt |
Z |
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
табулирована (то есть ее значения вычислены при многих x) почти во всех математиче- ских справочниках. Установим связь между a; 2 è 0;1.
|
|
|
|
|
|
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; |
|
|
0;1 |
|
|
|
||
Свойство 7. |
Для любого x |
|
справедливо соотношение |
|
|
2 |
(x) = |
|
x |
a |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
замена переменных |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a; 2 (x) = |
1 |
e 2 2 |
2 |
dt = |
x a |
1 |
e |
|
|
dy = 0;1 |
x a : |
|||||||||||||||||
|
2 y = |
|
, |
dt = dy |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
(t a) |
|
|
|
t |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
=2 |
|
|
|
|
|
|
Z |
p |
|
|
|
|
6 t = x |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Z |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
7! |
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То же самое на языке случайных величин можно сформулировать так:
|
Следствие 6. |
Åñëè = N |
|
2 , òî |
= |
a |
= N |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a; |
|
|
|
|
0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0;1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a; |
|
|
|
0;1 |
|
|||||||
F |
(x) = P( < x) = P |
|
a |
< x = P( < x + a) = |
|
2 ( x + a) = |
|
x + a a |
|
= |
|
(x): |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
46
Следствие |
|
7. |
Åñëè = Na; 2 , |
|
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
0;1 |
|
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
a; |
|
2 |
|
|
|
a; |
1 |
|
0;1 |
|
|
|
||||
P(x |
|
< < x |
) = |
|
2 |
(x |
) |
|
|
|
2 (x |
) = |
|
x2 |
a |
|
|
|
x1 a |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как мы видим, вычисление любых вероятностей для нормально распределенной слу- чайной величины сводится к вычислению функции распределения 0;1. Ее свойства (нарисовать их на графике плотности стандартного нормального распределения!!):
Свойство 8. |
|
|
0;1(0) = 0:5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойство 9. |
|
|
0;1( x) = 1 0;1(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Свойство 10. |
|
Åñëè |
= N0;1, òî P(j j < x) = 1 2 0;1( x) = 2 0;1(x) 1. |
||||||||||
Доказательство. |
P(j j < x) = P( x < < x) = 0;1(x) 0;1( x) = (по свойству 9) |
||||||||||||
= 1 2 0;1( x) = 2 0;1(x) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свойство 11 («Правило трех сигм»). |
Åñëè |
= Na; 2 , |
òî |
|
|||||||||
|
|
|
|
P(j aj > 3 ) = 0:0027 |
(мало, в общем :): |
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j j |
|
j j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
P( a > 3 ) = 1 P( a < 3 ) = 1 P |
|
|
|
< 3 : |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но величина = |
|
|
|
имеет стандартное нормальное распределение, |
и можно использо- |
||||||||
|
|
|
вать свойство 10: 1 P(j j < 3) = 1 (1 2 0;1( 3)) = 2 0;1( 3) = 2 0:00135 = 0:0027 (найти в таблице!).
Смысла в запоминании числа 0.0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах [a 3 ; a + 3 ], всегда полезно.
47
Раздел 9. Случайные вектора и их распределения
Определение 30. Если случайные величины 1; : : : ; n заданы на одном вероятностном пространстве, то вектор ( 1; : : : ; n) мы будем называть случайным вектором.
Определение 31. Функция F 1;:::;n (x1; : : : ; xn) = P( 1 < x1; : : : ; n < xn) называется
функцией распределения случайного вектора ( 1; : : : ; n) èëè функцией совместного распределения случайных величин 1; : : : ; n.
9.1Свойства функции совместного распределения
Для простоты обозначений все дальнейшие рассуждения и формулировки приводятся в случае n = 2 для случайного вектора ( 1; 2).
F0) |
0 6 F 1;2 (x1; x2) 6 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F1) |
F 1;2 (x1; x2) не убывает по каждой координате вектора (x1; x2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
F2) |
Для любого i = 1; 2 существует |
lim |
F 1;2 (x1; x2) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для любого i = 1; 2 существует |
lim F 1;2 (x1; x2). Ïðè ýòîì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
1;2 (1 |
; x |
def |
lim |
F |
|
(x |
; x |
) = F |
|
(x |
); |
F |
(x |
; |
1 |
def |
lim |
F |
|
|
(x |
; x |
|
F |
|
|
x |
|
: |
|
|
2) = |
|
|
) = |
|
|
2) = |
|
( |
1) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x1!1 |
|
1;2 |
1 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
1;2 |
1 |
|
|
x2!1 |
|
1 |
;2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
F3) Функция F 1;2 (x1; x2) по каждой координате вектора (x1; x2) непрерывна слева.
Доказательство этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю.
Только теперь этих свойств оказывается недостаточно для описания класса функций совместного распределения. Иначе говоря, выполнение этих свойств для некоторой функции F : R2 ! R вовсе не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.
Упражнение 12. Доказать, что функция
(
F (x1; x2) =
0; x1 6 0 èëè x2 6 0 èëè x1 + x2 6 1;
1; иначе, то есть когда одновременно x1 > 0; x2 > 0; x1 + x2 > 1:
a) удовлетворяет всем свойствам (F0)-(F3);
б) не является функцией распределения никакого вектора ( 1; 2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдется и прямоугольник [a1; b1] [a2; b2], вероятность попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:
P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) < 0!
Как же связана вероятность вектору попасть в прямоугольник с функцией распределения этого вектора?
Упражнение 13. Доказать, что
P(a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2) = F 1;2 (b1; b2) F 1;2 (a1; b2) F 1;2 (b1; a2) + F 1;2 (a1; a2): |
(12) |
48
Оказывается, если потребовать дополнительно от функции F , чтобы для всякого прямоугольника [a1; b1] [a2; b2] вероятность P (a1 6 1 < b1; a2 6 2 < b2), связанная с функцией F равенством (12), была неотрицательна, то любая функция, обладающая этим свойством и свойствами (F0)-(F3), уже будет функцией распределения некоторого случайного вектора.
На самом деле существо свойства (F2) в той его части, что касается предела на бесконеч-
ности, весьма туманно. Утверждает это свойство гораздо больше, чем просто «предел функции совместного распределения при стремлении одной координаты к бесконечности есть тоже функция распределения». Но как в общем случае проверить, что это не просто «некая функция распределения», но функция распределения оставшейся координаты векто-
ра ( 1; 2)? Если, не лукавя, рассмотреть в упражнении 12 F1(x1) = limx2!1 F (x1; x2) и
F2(x2) = limx1!1 F (x1; x2), то обе эти функции являются функциями распределения (выро-
жденного закона, т.е. случайных величин 1 = 0 и 2 = 0 п.н.). Но две вырожденные случайные
величины независимы, и их функция совместного распределения равна 1 в первом квадранте (включая его границу) и нулю в остальных квадрантах, но никак не равна F . Оставляю на суд читателя вопрос о том, выполнено ли все-таки условие (F2) для F из упражнения 12.
9.2Типы многомерных распределений
Ограничимся рассмотрением только двух случаев, когда совместное распределение координат случайного вектора ( 1; 2) ëèáî дискретно, ëèáî абсолютно непрерывно.
Дискретное совместное распределение
Определение 32. Говорят, что случайные величины 1; 2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счетный набор fai; bjg такой, что
11
XX
P( 1 = ai; 2 = bj) = 1:
i=1 j=1
Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой (или наоборот) стоит число
P( 1 = ai; 2 = bj), называют таблицей совместного распределения случайных величин 1
è 2.
Замечание 16. Напомню, что таблицы распределения каждой из случайных вели- чин 1, 2 в отдельности (таблицы частных, или маргинальных распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью очевидных формул:
1 |
1 |
|
|
X |
Xi |
|
= bj) = P( 2 = bj): |
P( 1 = ai; 2 = bj) = P( 1 = ai); |
P( 1 |
= ai; 2 |
|
j=1 |
=1 |
|
|
Если эти формулы вам не представляются очевидными, необходимо вернуться к разделу 4 и перечитать определение 18 полной группы событий, обратив также внимание на доказательство теоремы 8 (формулы полной вероятности).
49