17.4. Модели случайных сигналов и помех [2, 28].

Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовский случайный процесс, гауссовский шум.

Рис. 17.4.1. Телеграфный сигнал.

Телеграфный сигнал - это случайный процесс x_k(t), представляющий собой последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями и детерминированными значениями амплитуд c и -с, причем перемены знака внутри любого интервала (t, t+) происходят с интенсивностью  в случайные моменты времени и не зависят от процессов в смежных временных интервалах. Если считать случайной величиной телеграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала то распределение вероятностей значений n будет описываться законом Пуассона:

P(n) = (||)² exp(-||)/n! (17.4.1)

Рис. 17.4.2. Функция корреляции сигнала.

При вычислении корреляционной функции телеграфного сигнала каждое отдельное произведение x_k(t)x_k(t+) равно либо с², либо -с² в зависимости от совпадения или несовпадения знаков x_k(t) и x_k(t+), причем вероятность с² равна сумме вероятностей Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вероятность -с² определяется соответственно суммой вероятностей Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .

Следовательно:

R_x() = M{x_k(t)x_k(t+)}= c²(-1)ⁿP(n) =

= c² exp(-||)(-1)ⁿ(|)ⁿ/n! = c² exp(-2||). (17.4.2)

Параметр  полностью определяет ковариационные и спектральные свойства телеграфного сигнала. При  0 характеристики сигнала приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при    - к характеристикам белого шума.

Интервал ковариации сигнала:

_= 2(R_x()/c²) d = 2/. (17.4.3)

Отсюда следует, что чем больше , тем меньше время ковариации процесса. При   0 T_k   и процесс вырождается в детерминированный (стремится к постоянной составляющей). При    T_k  0 и процесс вырождается в белый шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних временных точках.

Рис. 17.4.3. Спектр сигнала.

Двусторонняя спектральная плотность сигнала:

S_x() =R_x() exp(-j) d = c²/(²+²). (17.4.4)

Односторонняя спектральная плотность:

G_x()=2R_x() exp(-j) d= 2c²/(²+²). (17.4.5)

Ширина спектра телеграфного сигнала:

_=G_x( dG_x(0) S_x() dS_x(0) = . (17.4.6)

Отсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал ковариации процесса.

Белый шум является стационарным случайным процессом x(t) с постоянной спектральной плотностью G_x(f) = ^, равной дисперсии значений x(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую энергию (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра).

По своему физическому смыслу спектральная плотность - это мощность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот. Но тогда идеального белого шума на практике не может существовать, так как для него должно было бы выполняться условие:

R_x(0) = G_x(f) df = (²/2)(0) = , (17.4.7)

т.е. мощность белого шума и его дисперсия равны бесконечности, а значения шума не коррелированны для любых ||  0, так как корреляционная функция представляет собой идеальный дельта-импульс. Тем не менее многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях рассматривают как белый шум, если выполняется следующее соотношение между шириной спектров полезных сигналов и шумов

_{сигнал}/B_k.шум << 1,

и спектральная плотность шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала.

Рис. 17.4.4. Функции корреляции белого

шума в частотном интервале 0-В.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:

G_x(f) = ², 0  f  B; G_x(f) = 0, f > B, (17.4.8)

при этом корреляционная функция шума определяется выражением:

R_x() = ²Bsin(2B) / 2B. (17.4.9)

Эффективная шумовая ширина спектра:

B_k = R_x(0)/G_x(f)_max = B. (17.4.10)

Эффективное шумовое время ковариации:

T_k = 2|R_x()|d /R_x(0). (17.4.11)

Реальное шумовое время ковариации целесообразно определить по ширине главного максимума функции R_x(), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом T_k = 1/В и B_kT_k = 1, т.е. соотношение неопределенности выполняется.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 17.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная ковариация между значениями и чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус ковариации. По существу, ограничение частотного диапазона шумов определенным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, в полном соответствии с выражением (17.3.7), корреляционная функция импульсного отклика фильтра переносится на шум.

Гауссовский шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию корреляции:

R_x() = a exp(-2²²). (17.4.12)

Спектральная плотность шумов:

S_x(f) = (a/) exp(-f²/2²), -  < f < . (17.4.13)

Эффективные шумовые ширина спектра и время ковариации:

B_k = /2 = 1.25, T_k = 1/= 0.4/. (17.4.14)

Соотношение неопределенности превращается в равенство: B_kT_k = 1/2.

Гауссовские случайные процессы преобладают в практических задачах. Случайный процесс x(t) называется гауссовским, если для любого набора фиксированных моментов времени t_n случайные величины x(t_n) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссовского процесса определяется выражением:

p(x) = (_x)^-1 exp(-(x-m_x)²/2²). (17.4.15)

Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:

m_x =xp(x) dx, m_x  (1/T)x(t) dt.

При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от t и равна:

_x² =x² p(x) dx.

Оценка дисперсии при больших Т:

_x²  (1/T)x²(t) dt =S_x(f) df = 2S_x(f) df =G_x(f) df. (17.4.16)

Следовательно, плотность вероятностей гауссовского процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.