X1 ∩ (x2  x3   Xm)  ø

X2 ∩ (x1  x3   Xm)  ø

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Xm ∩ (x1  x2  Xm-1)  ø

Имеет ряд причин требующих представления системы в виде структурированной. Во-первых нередко формирование системы происходит на множествах наблюдений полученных в разное время и в разных местах. Во-вторых должным образом обоснованная структурированная система может выявлять свойства, которые в явном виде не проявляются в исходной системы. В-третьих высокий уровень сложности системы может потребовать исследования системы по частям. Отсюда вытекают две возможные задачи:

1. Заданы системы на множество X¹, X², X³,… . Требуется сформировать структурированную систему и найти соответствующую исходную систему на множестве X = X¹  X²  X³  …

2. Задана система. Требуется найти структурированную систему, которая выявляет равные свойства.

Любая система может иметь множество соответствующих ей структурированных систем.

Пример. Задана система на множестве X = (X₁, X₂, X₃). Соответствующие ей варианты структурированных систем приведены на рис.

1 X₁X₂X₃

1. X₁X₂ X₂X₃ X₁X₃

3 X₁X₃ X₂X₃ 4 X₁X₂ X₂X₃ 5 X₁X₂ X₁X₃

6 X₂X₃ X₁ 7 X₁X₃ X₂ 8 X₁X₂ X₃

9 X₁ X₂ X₃

В этом множестве вариантов как видно не все удовлетворяют условиям структуризации (6,7,8,9).

Поэтому очевидно, что возникает вопрос, какой вариант структуризации наилучшим образом представляет заданную систему. Здесь возможны различные подходы. В самом общем виде условие выбора варианта можно сформулировать так. Лучшим вариантом структурированной системы является тот, который использует всю информацию исходной системы и не содержит ни какой другой.

Для систем, у которых определена функция поведения, это условие можно определить как принцип максимума нечетности. Конкретно для систем с вероятностной функцией поведение это принцип максимума энтропии т.е. лучший вариант структурированной системы обладает наибольшей величиной нечеткости или энтропии.

Однако в практических задачах нередко условие может потребовать минимизировать ошибку выбора варианта структуризации. Это условие можно сформулировать, как принцип минимального риска. В его основе лежит сравнение вариантов структуризации по близости функций поведения исходной и структурированной системы.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (1), необходимо наделить систе­му как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами:

1. ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы; например, рассматривать сам элемент v_j,ÎV_i как некото­рое множество с подходящей структурой;

2. ввести структуру непосредственно для самих объектов систе­мы V_iÎV.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.

Временные системы

Если элементы v_j одного из объектов системы V_i (v_j  V_i) функции, например v:T_vA_v, то такой объект называется функциональным. Интерес представляет случай, когда каждая функция v  V является отображением T в A, v:TA. В этом случае T называют индексирующим множеством для V, а A — алфавитом объекта V. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени (ММВ). Такое индексирующее множество улавливает минимальные свойства, необходимые для построения понятия времени.

Функции, определенные на подобных линейно упорядоченных множествах — (абстрактные) функции времени. Объект, элементами которого являются функции времени, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах — временными системами.

Особый интерес представляют системы, у которых элементы и входного и выходного объектов определе­ны на одном и том же множестве: ХÌА^T и YÌB^T. В этом случае под системой понимается отношение

Алгебраические системы.

Другой путь наделения объектов системы математическими структурами состоит в определении одной или нескольких операций, относительно которых V стано­вится алгеброй. В самом простейшем случае определяется бинар­ная операция R : V*V®V и предполагается, что в V можно выделить такое подмножество W, зачастую конечное, что любой элемент vÎV можно получить в результате применения операции R к элементам из W или к элементам, уже построенным из элементов множества Неподобным образом. В этом случае W на­зывают множеством производящих элементов или алфавитом объекта, а его элементы — символами, а элементы объекта V — словами. Если R есть операция сочленения, то слова — это просто последовательности элементов алфавита W.

Алгебра — множество с некоторыми конечноместными операциями. Линейная алгебра — множество с одной внутренней (+) и одной внешней (*) операциями, удовлетворяющими аксиомам векторного пространства.

Необходимо иметь в виду, что алфавит временного объекта — это не совсем то же самое, что алфавит алгебраичес­кого объекта. Для объектов с конечными алфавитами — это обычно одни и те же множества. Но как только алфавит стано­вится бесконечным, возникают трудности: множество производя­щих элементов и область функций времени оказываются различ­ными множествами, в общем случае даже разной мощности.

Итак, системой называется отношение на непустых (абстракт­ных) множествах:

SÌx{V_i, iÎI}.

Если множество индексов / конечно, то выражение (1) мож­но переписать в виде

SÌV₁*V₂*…*V_n.

Пусть I_x I и I_y I образуют разбиение множества I, т. е. пусть I_xI_y = и I_xI_y =I .

Множество Х= Ä{V_i. iÎI_x,} называется входным объектом, а множество Y=Ä{V_i,iÎI_y} - выходным объектом системы. Тогда система S определяется отношением

S Ì X* У

и называется системой «вход — выход» («черный ящик»).

Если S является функцией

S : X®Y, то система называется функциональной.