3. Теория вероятностей в пр

События и вероятности. Исходное понятие при построении вероятностных моделей в задачах принятия решений – опыт (испытание). Примерами опытов являются проверка качества единицы продукции, бросание трех монет независимо друг от друга и т.д.

 Первый шаг при построении вероятностной модели реального явления или процесса – выделение возможных исходов опыта. Их называют элементарными событиями. Обычно считают, что в первом опыте возможны два исхода – «единица продукции годная» и «единица продукции дефектная». Естественно принять, что при бросании монеты осуществляется одно из двух элементарных событий – «выпала решетка (цифра)» и «выпал герб». Таким образом, случаи «монета встала на ребро» или «монету не удалось найти» считаем невозможными.

 При бросании трех монет элементарных событий значительно больше. Вот одно из них – «первая монета выпала гербом, вторая – решеткой, третья – снова гербом». Перечислим все элементарные события в этом опыте. Для этого обозначим выпадение герба буквой Г, а решетки – буквой Р. Имеется 2³=8 элементарных событий: ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ, РРР – в каждой тройке символов первый показывает результат бросания первой модели, второй – второй монеты, третий – третьей монеты.

 Совокупность всех возможных исходов опыта, т.е. всех элементарных событий, называется пространством элементарных событий. Вначале мы ограничимся пространством элементарных событий, состоящим из конечного числа элементов.

 С математической точки зрения пространство всех элементарных событий, возможных в опыте – это некоторое множество, а элементарные события – его элементы.

 Перейдем к основному понятию теории вероятностей – понятию вероятности события. В методологических терминах можно сказать, что вероятность события является мерой возможности осуществления события. В ряде случаев естественно считать, что вероятность события А – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события А к общему числу всех опытов (т.е. частота осуществления события А) – при увеличении числа опытов, проводящихся независимо друг от друга. Иногда можно предсказать это число из соображений равновозможности. Так, при бросании симметричной монеты и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, а именно, 1 шанс из 2, а потому вероятности выпадения герба и решетки равны 1/2. 

 Определение 1. Пусть конечное множество    является пространством элементарных событий, соответствующим некоторому опыту. Пусть каждому    поставлено в соответствие неотрицательное число   , называемое вероятностью элементарного события   , причем сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, т.е.

   (1)

Тогда пара  , состоящая из конечного множества    и неотрицательной функции  Р определенной на    и удовлетворяющей условию (1), называется вероятностным пространством. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, входящих в А, т.е. определяется равенством

   (2)

 Сконструирован математический объект, основной при построении вероятностных моделей. Рассмотрим примеры.

 Из определения вероятности события, свойств символа суммирования и равенства (1) вытекает, что

  (3)

 При практическом применении вероятностно-статистических методов принятия решений постоянно используется понятие независимости. Например, при применении статистических методов управления качеством продукции говорят о независимых измерениях значений контролируемых параметров у включенных в выборку единиц продукции, о независимости появления дефектов одного вида от появления дефектов другого вида, и т.д. Независимость случайных событий понимается в вероятностных моделях в следующем смысле.

 Определение 2. События А и В называются независимыми, если 

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

 Это определение соответствует интуитивному представлению о независимости: осуществление или неосуществление одного события не должно влиять на осуществление или неосуществление другого.

Случайные величины и их математические ожидания. Случайная величина – это величина, значение которой зависит от случая, т.е. от элементарного события   . Таким образом, случайная величина – это функция, определенная на пространстве элементарных событий   . Примеры случайных величин: количество гербов, выпавших при независимом бросании двух монет; число, выпавшее на верхней грани игрального кубика; число дефектных единиц продукции среди проверенных.

 Определение. Математическим ожиданием случайной величины Х называется число

   (4)

т.е. математическое ожидание случайной величины – это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий.

 Пример 6. Вычислим математическое ожидание числа, выпавшего на верхней грани игрального кубика. Непосредственно из определения 3 следует, что

 

 Дисперсия случайной величины. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания.

 Определение. Дисперсией случайной величины Х называется число

                                   

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

 Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий.

 Случайная величина В = X₁+ X₂+…+ X_k   называется биномиальной. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р (В=а) при а = 0, 1, …, k ,достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов.

 Закон больших чисел лежит в основе математической статистики. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы    части прикладной математической статистики.

 Теорема Чебышева. Пусть случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_k попарно независимы и существует числоС такое, что D(X_i)<C при всех i = 1, 2, …, k. Тогда для любого положительного    выполнено неравенство

  (11)

Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на   , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом   . Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

 Из закона больших чисел следует, что    при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х₁), что записывают так:

Здесь знак    означает «сходимость по вероятности». Обратим внимание, что понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Напомним, что последовательность b_n имеет предел b при   , если для любого сколь угодно малого   существует число    такое, что при любом    справедливо утверждение:   . При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число    и утверждение   предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее   .

 ТеоремаБернулли. Пусть m – число наступлений события А в k независимых (попарно) испытаниях, и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда при любом   справедливо неравенство

   (12)

 Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты.