Случайные величины. Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначают случайные величины буквами Х, Y,Z,а их возможные значения — х, у,z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределе­ния — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

p_i=P(X=x_i), i = 1,n.

События X = x₁, X = x₂,..., X = x_nобразуют полную группу, следователь­но, сумма вероятностей этих событий равна единице:

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить зна­чения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами (x_i,p_i) будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.

Пример 1. Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

Х	-2	-1	0	2	4
Р	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

Решение. На оси Х откладываем значения x_i, равные -2, -1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений (рис. 1):

Рис. 1

Точки A₁A₂, A₃, A₄, A₅изображают полигон распределения, а ломанаяA₀A₁A₂A₃A₄A₅A₆— многоугольник распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределе­ния. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

F(x)=P(X <x)

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения.

Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геомет­рически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х (рис. 2):

F(x) F(x)обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0<F(x)< 1.

Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероят­ность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x₁, x₂) (включая x₁) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

P(x₁≤X<x₂)=F(x₂)-F(x₁).

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М(Х)дискретной случайной величины

П усть случайная величина Х может принимать только значения x₁, x₂,..., x_n, вероятности которых соответственно равны p₁,p₂,…,p_n. Тогда математиче­ское ожидание М(Х)случайной величины Х определяется равенством

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной слу­чайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

М атематическое ожидание приближенно равно среднему арифметическо­му значений случайной величины:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

M(C) = C .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

M (CX) = CM (X).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий

M(X±Y) = M(X)±M(Y).

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M (XY )= M (X) M(Y).

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

M (X - M (X ))= 0.

Дисперсия случайной величины

Только математическое ожидание не может в достаточной степени харак­теризовать случайную величину.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений слу­чайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

D( X) = M[X - M (X )]².

Дисперсия — это мера рассеяния случайной величины около ее математи­ческого ожидания.

Если Х — дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

где а = М(Х);

d(x)=m(x² )-(m(x))².

Свойства дисперсии случайной величины

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю

d(c)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

d(cx)= C²d(x) .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

d(x+y)=D(x)+d(y) .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

d(x-y)=D(x)+d(Y).

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристи­ки. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называ­ется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии

.

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной величины.

Рассмотрим некоторые распределения дискретной случайной величины.

Биномиальный закон распределения

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р,то число появлений события А— дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, m, с вероятностями

P_n(m)=C^mp^mq^n-m(формула Бернулли), где 0<p<1, q= 1 - p,m= 0,1, ...,n.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распреде­ленной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

M (X ) = np,

D( X )=npq.

Пример 2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Составить закон распределения числа коммерческих ву­зов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого рас­пределения.

Решение. В качестве случайной величины х выступает число коммерче­ских вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответ­ствующие вероятности.

Обозначим через событие a₁— первый вуз прошел ак­кредитацию, a₂— второй, a₃— третий, a₄— четвертый. Тогда P(A₁)= 0,5; P(A₂)= 0,4; P(A₃)= 0,3; P(A₄)= 0,2.

Вероятности для вузов не пройти аккреди­тацию соответственно равны P( )

=1— 0,5=0,5; P( )= 1 — 0,4 = 0,6; p( )= 1 — 0,3 = 0,7; p( )= 1 — 0,2 = 0,8. Тогда имеем:

Х	0	1	2	з	4
Р	0,012	0,106	0,320	0,394	0,168

Запишем закон распределения в виде таблицы

П

Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1. Вычислим

ример 3..

Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1. Вычислим

Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина х:1, 2, 3.

Обозначим через событие A₁— книга свободна в первой библиотеке,A₂— во второй, A₃— в третьей. ТогдаP(A₁)=Р(A₂)=P(A₃)= 0,3. Вероятность противоположного события, что книга занята = 1 - 0,3 = 0,7.

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

З апишем закон распределения в виде таблицы.

х	1	2	3
р	0,3	0,21	0,49

Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

Пример 4.Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя та­кие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины х выступает число просмотрен­ных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина х:1, 2, 3, 4. Все значения случайной величины зависимы.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теоре­му умножения для зависимых событий.

Пусть событие a₁— первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке,

a₂— вторые, a₃— третьи, a₄— четвертые. Тогда имеем:

Х	1	2	3	4
Р	7/10	7/30	7/120	1/120

Пример 5.

Имеются данные о пяти промышленных предприятий района.

№ пред­приятия	Объем произве­денной продукции, тыс. руб.	Среднесписочное число работающих, тыс. чел	Выработка на одного работающего, руб.
1	4000	4	1000
2	9000	6	1500
3	20000	10	2000
4	14400	8	1800
5	6500	5	1300

Определите для данной совокупности средние показатели: а) объема произведенной продукции; б) числа работающих; в) выработки на одного работающего.

Решение

а) средний показатель объема произведенной продукции рассчитаем по форме средней арифметической невзвешенной. , где x_i – значения объема произведенной продукции i-го предприятия, n– число предприятий. тыс. руб. б) средний показатель числа рабочих рассчитаем по форме средней арифметической невзвешенной. , где x_i – среднесписочное число рабочих i-го предприятия, n – число предприятий. тыс. чел. в) средний показатель выработки на одного работающего рассчитаем по форме средней гармонической взвешенной. , где x_i – выработка на одного работающего i-го предприятия, f_i – среднесписочное число рабочих i-го предприятия. руб.

Пример 6.

Для изучения качества пряжи была проведена 2%-ая механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты:

Крепость нити, г	Число образцов
До 160	2
160-180	7
180-200	24
200-220	40
220-240	20
240-260	7
и т о г о	100

На основании полученных данных вычислите: 1) среднюю крепость нити; 2) все возможные показатели вариации.

Решение

Среднюю величину рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной: где x_i - значение осредняемого признака, f_i - частота. В качестве показателей вариации рассчитаем: Среднее линейное отклонение, определяемое из отношения суммы, взятых по абсолютной величине отклонений всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности: Дисперсия, равную среднему квадрату отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: Среднее квадратическое отклонение, характеризующее величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака отих средней, т.е. из дисперсии: Произведем дополнительные расчеты в таблице для получения средних величин.

	Середина интервала xi	Частота fi	xifi
1	80	2	160	126,6	253,2	16027,56	32055,12
2	170	7	1190	36,6	256,2	1339,56	9376,92
3	190	24	4560	16,6	398,4	275,56	6613,44
4	210	40	8400	3,4	136	11,56	462,4
5	230	20	4600	23,4	468	547,56	10951,2
6	250	7	1750	43,4	303,8	1883,56	13184,92
	1130	100	20660	250	1815,6	20085,36	72644

В результате получим следующие значения: Средняя крепость нити г. г. г. Вычислим относительные показатели вариации. Коэффициент осцилляции: Линейный коэффициент вариации: Коэффициент вариации: Коэффициент вариации меньше 33%, значит данная совокупность однородна, колеблемость признака возле среднего значения небольшая.

Пример 7.

Для контроля за качеством поступившей партии товара произведено 5%-ное выборочное обследование. При отборе в выборку образцов по схеме механического отбора получены следующие данные о содержании влаги:

Влажность, %	Количество образцов
До 14	20
14-16	30
16-18	25
18-20	20
20 и выше	5
Итого	100

Определите: 1. Средний процент товара влажности. 2. Показатели вариации (абсолютные и относительные). Решение Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле: где x_i - значение влажности, f_i - количество образцов. Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятых по абсолютной величине отклонений всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности: Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: Среднее квадратическое отклонение - это показатель вариации, характеризующий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака отих средней, т.е. из дисперсии: Произведем дополнительные расчеты в таблице для получения средних величин.

	xi	fi	xifi
1	13	20	260	3,2	64	10,24	204,8
2	15	30	450	1,2	36	1,44	43,2
3	17	25	425	0,8	20	0,64	16
4	19	20	380	2,8	56	7,84	156,8
5	21	5	105	4,8	24	23,04	115,2
	85	100	1620	12,8	200	43,2	536

В результате получим следующие значения: Вычислим относительные показатели вариации. Коэффициент осцилляции: Линейный коэффициент вариации: Коэффициент вариации: