1.4. Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x  +

Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +).

Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к + (x +), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: .

Пример 1. Функция y = определена на интервале (0, +). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

x		1			5	10	20
y	4	3		2,5	2,2	2,1	2,05

Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.

У бедимся, что = 2.

Разность показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа , если x взять достаточно большим. Например,  = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.

Пусть  – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x₀, что f(x) – 2 <  для всех x > x₀. Действительно, f(x) – 2 = , < , x > . Обозначив x₀ = , получаем, что для всех x, если x > x₀, то f(x) – 2 < . Итак мы показали, что = 2.

Пример 2. Функция y = определена на (–2, +). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).

x	0	1	2	3	10	98	998
y		0

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что =1. Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа  при достаточно больших x. Для этого решим неравенство < , получим: 2 + x > , и x > – 2. Обозначим: x₀ = 2. Таким образом, если x > x₀, то | f(x) – 1| < . Например, возьмем в качестве  число 0,01, тогда:

x ₀ = – 2 = 300 – 2 = 298, x₀ = 298.

Если x > 298, то < 0,01. Этим мы показали, что = 1 (рис. 1.3).

Дадим строгое определение предела функции при x +.

Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +, если для любого положительного числа  найдется такое число x₀, что для всех x, больших x₀, выполняется неравенство:

f(x) – b | < 

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:

f(x) = b означает  > 0 x₀ x > x₀ ( | f(x) – b | <  ).

Пример 3. Доказать, что = 0 x  (0, +).

Д оказательство: f(x) = . Зафиксируем произвольное  > 0, покажем, что найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀: | f(x) – 0 | < . Действительно,

| f(x) – 0 | = = ; <   x > .

Обозначим: x₀ = , тогда при x > x₀: |f(x) – 0 | < , значит, = 0.

Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x +. Неравенство: | f(x) – b | <  равносильно двойному неравенству: b –  < f(x) < b + . Из определения предела следует, что по произвольному  > 0 найдется такое x₀, что для всех x, больших x₀, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + , y = b – .