1.3. Функции

Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Пример 1. Для функции y = область определения A = (–, –1][1, +), множество значений B = [0, +).

Пример 2. y = , A = R, B = (–, +1].

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению xA, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...

Обозначим f(1) = a₁, f(2) = a₂, ..., f(n) = a_n, ... Такую функцию называют последовательностью, a₁ – первый член, ..., a_n – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так: x₁, x₂M (x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂)).

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически: x₁, x₂M (x₁< x₂  f(x₁) > f(x₂)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x². На интервале (–, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, +  ) – возрастающая.

Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения xM f(x) < k.

Символически это может быть записано так: k xM (f(x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. Так, функция y = ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f(x) называется четной, если xA (f(–x) = f(x)), и называется нечетной, если xA (f(–x) = –f(x)).

Например, функция y = x² является четной, а y = sinx – нечетной.

Функция f(x) называется периодической с периодом T (T  0 ), если xA(f(x + T) = f(x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t: x = (t), то y = f((t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x², x = sint, тогда функция y = (sint)² является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения yB существует единственное значение xB, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = (y). Эту функцию называют обратной для y = f(x). Для обратной функции x = (y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: .

Например, для функции y = x² с областью определения [0, +) и таким же множеством значений обратной является функция: x = .

В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие  – окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

|a| = .

Неравенство |x| < m ( m > 0 ) равносильно двойному неравенству –m < x < m, неравенство |x – x₀| <  ( > 0) равносильно x₀ –  < x< x₀ + Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x₀ – , x₀ + ) и называется  – окрестностью точки x₀ (рис. 1.1).