III. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Простейшие тригонометрические уравнения sinx = a; cosx = a; tgx = a; ctgx = a, если имеют решения, то их бесконечно много. Возникает проблема, как записать все решения?

Договорились, для одного корня уравнения ввести специальное обозначение, а другие корни – выразить через него.

Определение. Арксинусом числа а называется такое число из промежутка [–/2; /2], синус которого равен а. Обозначение: arcsinа.

Определение. Арккосинусом числа а называется такое число из промежутка [0; ], косинус которого равен а. Обозначение: arcсosа.

Определение. Арктангенсом числа а называется такое число из промежутка (–/2; /2), тангенс которого равен а. Обозначение: arctgа.

Определение. Арккотангенсом числа а называется такое число из промежутка (0; ), котангенс которого равен а. Обозначение: arcctgа.

Выведем формулы решения уравнений sinx= a и cosх = а.

Схема: 1) выделим случаи: нет решений; основной; частные; 2) выведем формулу для основного случая: промежуток длиною в период, основной корень – арк; второй корень через основной; две серии корней с учетом периодичности; объединение корней в одну формулу; 3) частные случаи без использования основной формулы.

	sinx= a	cosх = а
1.	Если а > 1, то уравнение корней не имеет
2.	Н а [–/2; 3/2] А: х = arcsina В: х =– arcsina На всей области определения: А: х = arcsina + 2п, пZ В: х = –arcsina+ (2+1)п, пZ Объединение: х = (–1)karcsinа+ k, kZ	На [0; 2] А: x = arccosa B: x = –arccosa На всей области определения: А: х = arccosa + 2п, пZ В: х = –arccosa+ 2п, пZ Объединение: х =  arccosа+ 2k, kZ
3.	а = 0. х = _____________, пZ	а = 0 х = _____________, пZ
	а = 1 х = _______________, пZ	а = 1 х = _____________, пZ
	а = – 1 х = ______________, пZ	а = –1 х = ______________, пZ

!!Самостоятельно доказать формулу корней для уравнений tg x = а и ctg x = а.

!!Самостоятельно Схемы решения простейших тригонометрических неравенств см. в пособии Малова И.Е. и др. «Теория и методика обучения математике», с. 319-321.

По материалу лекции нужно знать:

1. Радианная и градусная мера угла.

2. Числовая окружность.

3. Синус угла в прямоугольном треугольнике, синус угла поворота

4. Косинус угла в прямоугольном треугольнике, косинус угла поворота.

5. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла поворота.

6. Котангенс угла в прямоугольном треугольнике, котангенс угла поворота.

7. Арксинус числа а.

8. Арккосинус числа а.

9. Арктангенс числа а.

10. Арккотангенс числа а.

11. Формула корней уравнения sin x = а.

12. Формула корней уравнения cos x = а.

13. Формула корней уравнения tg x = а.

14. Формула корней уравнения ctg x = а.

15. Схема решения простейших тригонометрических неравенств.

16. Правило запоминания формул приведения.

17. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

18. Тригонометрические функции двойного аргумента.

19. Тригонометрические функции суммы (разности) аргументов.

20. Произведение тригонометрических функций.

21. Сумма (разность) тригонометрических функций.

22. Таблица значений тригонометрических функций.